ขณะที่คุณใช้ชีวิตอยู่ ความสนใจของคุณมักจะจดจ่ออยู่กับสิ่งที่อยู่เบื้องหน้า ส่วนเบื้องหลังมักถูกมองข้ามไป เรามักมองข้ามสิ่งต่างๆ เช่น อากาศ น้ำ และอีกหลายๆ อย่าง เช่น ภาษาและคณิตศาสตร์ เมื่อคุณทำงานในองค์กรหนึ่งมาเป็นเวลานาน โครงสร้าง วิธีการ และ "จิตวิญญาณ" ขององค์กรก็มักจะถูกมองข้ามไปเช่นกัน
มันมีประโยชน์ที่จะลองพิจารณาสิ่งที่เป็นเบื้องหลังเหล่านี้ ซึ่งคุณไม่เคยให้ความสนใจอย่างใกล้ชิดมาก่อน เพราะการก้าวกระโดดครั้งใหญ่มักเกิดขึ้นจากการกระทำเช่นนี้ และแทบจะไม่เกิดขึ้นจากวิธีอื่น ด้วยเหตุนี้เราจะมาพิจารณาคณิตศาสตร์กัน แม้ว่าการพิจารณาในลักษณะเดียวกันกับภาษาก็จะมีประโยชน์ไม่แพ้กัน เราใช้คณิตศาสตร์โดยที่ไม่เคยพูดถึงว่ามันคืออะไร—พวกคุณส่วนใหญ่ไม่เคยคิดถึงเรื่องนี้จริงๆ คุณแค่ทำคณิตศาสตร์—แต่คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์
บางทีคำนิยามคณิตศาสตร์ที่นักคณิตศาสตร์ชอบมากที่สุดคือ:
คณิตศาสตร์คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ และนักคณิตศาสตร์คือผู้ที่ทำคณิตศาสตร์
เมื่อฟังจากนักคณิตศาสตร์แล้ว ความเป็นวงกลมของคำนิยามนี้เป็นที่มาของอารมณ์ขัน แต่มันก็เป็นการยอมรับอย่างชัดเจนว่าพวกเขาไม่คิดว่าจะสามารถนิยามคณิตศาสตร์ได้อย่างเหมาะสม มีหนังสือชื่อดังชื่อ What Is Mathematics? ซึ่งผู้เขียนนำเสนอคณิตศาสตร์แต่ก็ไม่ได้พยายามนิยามมัน
ครั้งหนึ่งในงานค็อกเทล หัวหน้าแผนกคณิตศาสตร์ของ Bell Telephone Laboratories พูดกับหญิงสาวคนหนึ่งสามครั้งว่า
คณิตศาสตร์ก็แค่การคิดอย่างชัดเจนเท่านั้น
ผมสงสัยว่าเธอจะเห็นด้วยหรือไม่ แต่สุดท้ายเธอก็เปลี่ยนหัวข้อสนทนา มันสร้างความประทับใจให้กับผม คุณอาจจะพูดอีกอย่างว่า:
คณิตศาสตร์คือภาษาของการคิดอย่างชัดเจน
นี่ไม่ได้หมายความว่าคณิตศาสตร์สมบูรณ์แบบ—ไม่ใช่เลย—แต่ดูเหมือนจะไม่มีอะไรที่ดีไปกว่านี้แล้ว ลองมองดูระบบกฎหมายและกรมสรรพากรที่ใช้ภาษาธรรมชาติเพื่อแสดงสิ่งที่พวกเขาต้องการ จะเห็นว่าภาษาอังกฤษนั้นไม่เพียงพอสำหรับการคิดอย่างชัดเจนแค่ไหน แค่ประโยคง่ายๆ อย่าง "ฉันกำลังโกหก" ก็ขัดแย้งกับตัวเองแล้ว!
บนโลกนี้มีภาษาธรรมชาติอยู่มากมาย แต่คณิตศาสตร์มีภาษาเดียวเป็น หลัก จริงอยู่ที่ชาวโรมันเขียนเป็น VII สัญกรณ์อาหรับเป็น 7 (แน่นอนว่า 7 อยู่ในรูปภาษาละติน ไม่ใช่อาหรับ) และสัญกรณ์ฐานสองเป็น 111 แต่มันคือแนวคิดเดียวกันที่อยู่เบื้องหลังสัญกรณ์ที่แตกต่างกัน 7 ก็คือ 7 ก็คือ 7 และในทุกสัญกรณ์มันก็เป็นจำนวนเฉพาะ จำนวน 7 ไม่ควรสับสนกับสัญกรณ์ที่ใช้แทนมัน
คนส่วนใหญ่ที่คิดอย่างจริงจังเกี่ยวกับเรื่องนี้เห็นพ้องกันว่าหากเราเคยสื่อสารกับอารยธรรมรอบดาวฤกษ์ดวงอื่น พวกเขาก็จะมีคณิตศาสตร์ที่โดย พื้นฐาน แล้วเหมือนกับเรา อย่าลืมว่าสมมติฐานคือเราสื่อสารกับพวกเขาได้ ซึ่งดูเหมือนจะบ่งบอกว่าพวกเขาพัฒนามาถึงระดับที่เชี่ยวชาญสมการของ Maxwell แล้ว ผมควรทราบไว้ว่านักปรัชญาบางคนสงสัยว่าแม้แต่ระบบการสื่อสารของพวกเขา ไม่ต้องพูดถึงรายละเอียดใดๆ เลย จะมีความคล้ายคลึงกับของเราในทางใดทางหนึ่งหรือไม่ แต่คนที่หัวลอยอยู่ในเมฆตลอดเวลาสามารถจินตนาการอะไรก็ได้ และแทบจะไม่เคยถูกต้องเลย (ลองดูการคาดเดาบางอย่างว่าพื้นผิวดวงจันทร์จะมีฝุ่นหนาหลายเมตรจนยานอวกาศจมและทำให้ผู้คนหายใจไม่ออก)
Figure 23.1—Anticongruent triangles (สามเหลี่ยมที่ไม่สมภาค)
Figure 23.2—Ptolemy's sine (ค่า sine ของปโตเลมี)
คำว่า "โดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากัน" เป็นสิ่งจำเป็นเพราะว่า ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตแบบยุคลิดของพวกเขาอาจรวมถึง การวางแนว ดังนั้นสำหรับมนุษย์ต่างดาวแล้ว สามเหลี่ยมสองรูปอาจสมภาคกันหรือ ไม่สมภาคกันก็ได้ Figure 23.1 ในทำนองเดียวกัน ปโตเลมี ใน Almagest ทางดาราศาสตร์ของเขา ใช้ sin x ในที่ที่เราจะใช้ 2 sin( x /2) , Figure 23.2 แต่โดยพื้นฐานแล้วแนวคิดก็เหมือนกัน
ตลอดหลายปีที่ผ่านมา มีสำนักความคิดหลักเกี่ยวกับคณิตศาสตร์อยู่ห้าสำนัก และไม่มีสำนักใดที่พิสูจน์ได้ว่าน่าพอใจ
สำนักที่เก่าแก่ที่สุด และน่าจะเป็นสำนักที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ยึดถือเมื่อไม่ได้คิดอย่างรอบคอบ คือ สำนักเพลโต (Platonic school) . เพลโต (427–347 ก่อนคริสตกาล ) อ้างว่า แนวคิด ของสิ่งต่างๆ เช่น เก้าอี้ มีความจริงมากกว่าเก้าอี้ เฉพาะตัว ใดๆ เก้าอี้ที่จับต้องได้เสื่อมสภาพ ผุพัง สูญหายได้ แต่เก้าอี้ในอุดมคตินั้นไม่เปลี่ยนแปลง เป็นนิรันดร์ ตามที่เขากล่าว ดังนั้น เขาจึงอ้างว่าโลกแห่งแนวคิดนั้นมีความจริงมากกว่าโลกทางกายภาพ ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์และผลลัพธ์อื่นๆ ทั้งหมดอยู่ในโลกแห่งแนวคิดนี้ (ตามที่เพลโตอ้าง) พร้อมกับตัวเลข เช่น 7 และไม่มีตัวตนอยู่ในโลกทางกายภาพ คุณไม่เคยเห็น ได้ยิน สัมผัส ลิ้มรส หรือได้กลิ่นของจำนวนนามธรรม 7 ใช่ คุณเคยเห็นม้า 7 ตัว วัว 7 ตัว เก้าอี้ 7 ตัว แต่ไม่เคยเห็นจำนวน 7 ในตัวเอง— 7 บริสุทธิ์ที่ไม่ปนเปื้อนด้วยการนำไปใช้จริงใดๆ ในอุปมาที่เพลโตใช้ เราเห็นความจริงเพียงเงาที่มันฉายลงบนผนัง ความจริงที่แท้จริงไม่มีวันมองเห็นได้ มีเพียงเงาของความจริงที่มาถึงประสาทสัมผัสของเรา จิตใจของเราต่างหากที่ก้าวข้ามข้อจำกัดนี้และเข้าถึงแนวคิดซึ่งเป็นความจริงที่แท้จริง ตามที่เพลโตกล่าว
ดังนั้น นักคณิตศาสตร์แนวเพลโตจะบอกว่าพวกเขา "ค้นพบ" ผลลัพธ์ ไม่ใช่ "สร้าง" มันขึ้นมา ผม "ค้นพบ" รหัสแก้ไขข้อผิดพลาด มากกว่าที่จะ "สร้าง" มันขึ้นมา ถ้าผมเป็นนักเพลโต ผลลัพธ์เหล่านั้นมีอยู่เสมอ รอให้ถูกค้นพบ มันเป็นไปได้มาตลอด
ปัญหาของลัทธิเพลโตคือมันไม่น่าเชื่อถือเท่าไรนัก และแน่นอนว่าไม่สามารถอธิบายได้ว่าคณิตศาสตร์มีวิวัฒนาการอย่างไร ซึ่งแตกต่างจากการขยายและเรียบเรียงรายละเอียด แนวคิดและนิยามพื้นฐานของคณิตศาสตร์ค่อยๆ เปลี่ยนไปตามกาลเวลา และสิ่งนี้ไม่สอดคล้องกับแนวคิดเรื่องแนวคิดของเพลโตที่ไม่เปลี่ยนแปลง แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของออยเลอร์ (1707–1783) แตกต่างอย่างมากจากสิ่งที่คุณถูกสอนมา แน่นอน คุณสามารถอ้างได้ว่าการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นจากการที่เรา "มองเห็นแนวคิดชัดเจนขึ้น" เมื่อเวลาผ่านไป แต่เมื่อเราพิจารณาเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด ซึ่งเกิดจากการยุ่งกับสัจพจน์เส้นขนานเพียงอย่างเดียว และจากนั้นก็คิดถึงเรขาคณิตอื่นๆ ที่เป็นไปได้อีกมากมายที่ต้องมีอยู่ในพื้นที่แบบเพลโตนี้ ทุกความคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้และผลลัพธ์เชิงตรรกะที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากความคิดเหล่านั้น ต้องมีอยู่ในอาณาจักรแห่งแนวคิดของเพลโตตลอดชั่วนิรันดร์! พวกมันมีอยู่ทั้งหมดตั้งแต่ตอนที่เกิดบิ๊กแบง!
สำนักสำคัญที่สองของนักคณิตศาสตร์คือ สำนักรูปนัย (formalists) . สำหรับพวกเขาแล้ว คณิตศาสตร์คือเกมรูปนัยที่เริ่มต้นจากสายอักขระสัญลักษณ์นามธรรมบางชุด และทำการแปลงรูปนัยที่ได้รับอนุญาตบนสายอักขระเหล่านั้น คล้ายกับที่คุณทำตอนทำพีชคณิต สำหรับพวกเขาแล้ว คณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นเกมกลไก ที่ไม่อนุญาตให้ตีความความหมายของสัญลักษณ์ เกรงว่าคุณจะทำผิดพลาดแบบมนุษย์ทั่วไป สำนักนี้มี ฮิลเบิร์ตเป็นตัวละครหลัก แนวทางคณิตศาสตร์นี้เป็นที่นิยมในกลุ่มคนทำงานด้านปัญญาประดิษฐ์ เพราะนั่นคือสิ่งที่เครื่องจักรทำได้ อย่างยอดเยี่ยม!
Figure 23.3—"Proof" that all triangles are isosceles ("การพิสูจน์" ว่าสามเหลี่ยมทั้งหมดเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว)
น่าจะในช่วงปลายยุคกลาง (แม้ผมจะไม่เคยพบว่ามันถูกค้นพบครั้งแรกเมื่อใด) มีการพิสูจน์ที่รู้จักกันดี โดยใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดดั้งเดิม ว่าสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คุณเริ่มด้วยสามเหลี่ยม ABC , Figure 23.3 . จากนั้นคุณแบ่งครึ่งมุมที่ B และสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านตรงข้ามที่จุด D . เส้นสองเส้นนี้พบกันที่จุด E . จากนั้นทำงานรอบจุด E คุณสร้างสามเหลี่ยมย่อยที่มีด้านหรือมุมที่สัมพันธ์กันเท่ากัน และสุดท้ายก็พิสูจน์ว่าสองด้านของมุมที่ถูกแบ่งครึ่งนั้นยาวเท่ากัน! เห็นได้ชัดว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ผิด แต่มันทำตามรูปแบบที่นักเรขาคณิตแบบยุคลิดดั้งเดิมใช้ ดังนั้นจึงมีบางอย่างที่ผิดพลาดโดยพื้นฐาน (สังเกตว่าเราต้องใช้การใช้เหตุผลเชิงอภิคณิตศาสตร์เท่านั้นถึงตัดสินได้ว่าการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ครั้งนี้ได้ข้อสรุปที่ผิด!)
เพื่อแสดงให้เห็นว่าการให้เหตุผลที่ผิดพลาดของผลลัพธ์นี้เกิดขึ้นที่ใด (และผลลัพธ์ที่ผิดอื่นๆ ที่เป็นไปได้ด้วย) ฮิลเบิร์ตได้ตรวจสอบสิ่งที่ Euclid ไม่ได้พูดถึง ทั้งเรื่อง ความเป็นระหว่าง (betweenness) และ จุดตัด (intersections) . ดังนั้นฮิลเบิร์ตจึงแสดงให้เห็นว่าจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งทั้งสองที่ระบุนั้นอยู่ภายนอกสามเหลี่ยม ไม่ใช่ภายในอย่างที่ภาพวาดแสดง ในการทำเช่นนี้ เขาได้เพิ่มสัจพจน์อีกมากมายกว่าที่ Euclid เคยให้ไว้!
ผมเป็นนักศึกษาบัณฑิตทางคณิตศาสตร์เมื่อข้อเท็จจริงนี้มาถึงความสนใจของผม ผมอ่านเกี่ยวกับมันเล็กน้อย แล้วก็คิดมาก มีคนบอกผมว่ามีทฤษฎีบทของ Euclid อยู่ประมาณ 467 ทฤษฎี แต่ไม่มีทฤษฎีบทใดเลยที่กลายเป็นเท็จหลังจากฮิลเบิร์ตเพิ่มสัจพจน์ของเขา! แต่ทุกทฤษฎีบทที่ต้องการสัจพจน์ใหม่เหล่านี้หนึ่งข้อขึ้นไปนั้น Euclid ไม่สามารถ "พิสูจน์" อย่างเคร่งครัดได้! ทุกทฤษฎีบทที่ต่อเนื่องและอาศัยทฤษฎีบทดังกล่าว ก็ไม่ได้รับการ "พิสูจน์" โดย Euclid เช่นกัน แต่ผลลัพธ์ในระบบที่ปรับปรุงแล้วก็ยังคงเหมือนกับที่ Euclid ถือว่าเป็นจริง สิ่งนี้เป็นไปได้อย่างไร? เป็นไปได้อย่างไรที่ Euclid แม้ว่าเขาจะไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทส่วนใหญ่ของเขาจริงๆ แต่ก็ไม่เคยทำผิดพลาดเลย? โชคช่วย? ไม่น่าใช่!
ไม่นานมันก็ชัดเจนสำหรับผมว่า สาเหตุหนึ่งที่ไม่มีทฤษฎีบทใดผิดคือ ฮิลเบิร์ต "รู้" ว่าทฤษฎีบทของ Euclid "ถูกต้อง" และเขาเลือกสัจพจน์ที่เพิ่มเข้ามาเพื่อให้สิ่งนี้เป็นจริง แต่แล้วผมก็ตระหนักได้อย่างรวดเร็วว่า Euclid ก็อยู่ในสถานการณ์เดียวกัน Euclid รู้ "ความจริง" ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและทฤษฎีบทอื่นๆ อีกมากมาย และต้องหาระบบสัจพจน์ที่จะทำให้เขาได้ผลลัพธ์ที่เขารู้ล่วงหน้า Euclid ไม่ได้วางสัจพจน์และใช้การอนุมานอย่างที่เรามักถูกสอน เขาหาทางย้อนกลับจากผลลัพธ์ที่ "รู้" ไปยังสัจพจน์ที่เขาต้องการ!
เพื่อถอดความข้อกล่าวอ้างหนึ่งของฮิลเบิร์ต "เมื่อความเข้มงวดเข้ามา ความหมายก็จากไป" พวกฟอร์มาลิสต์อ้างว่าไม่มีความหมาย "ในคณิตศาสตร์"—แต่ถ้าเป็นเช่นนั้น ทำไมสังคมถึงต้องสนับสนุนคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์? ทำไมคณิตศาสตร์ถึงพิสูจน์ว่ามีประโยชน์มากขนาดนี้? หากไม่มีความหมายใดๆ ในทุกแห่งของคณิตศาสตร์ทั้งหมด แล้วทำไมสัจพจน์และนิยามถึงต้องเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา? พวกฟอร์มาลิสต์ไม่สามารถอธิบายได้เลยว่าทำไมคณิตศาสตร์ถึงเป็นมากกว่าแค่เกมเล่นสนุกที่ไร้ความหมาย ไม่ต่างจากการเดินหมากของ หมากรุก
ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพวกฟอร์มาลิสต์คือ สำนักตรรกะ (logical school) ซึ่งพยายามลดคณิตศาสตร์ทั้งหมดให้เป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์ พวกเขาเหมือนกับทุกสำนักอื่นๆ ไม่สามารถดำเนินการตามแผนของตนได้—และสำหรับพวกเขาแล้วมันเจ็บปวดยิ่งกว่าสำนักอื่น เพราะพวกเขาควรจะเป็นนักตรรกศาสตร์! ความพยายามที่มีชื่อเสียงของ Whitehead และ Russell ในสามเล่มหนาใหญ่ ได้ถูกละทิ้งไปเป็นส่วนใหญ่ แม้ว่าส่วนใหญ่ของงานของพวกเขาจะยังคงถูกนำมาใช้ ก็ใช้คำพูดที่มีชื่อเสียงของ Russell:
คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ประกอบด้วยข้อความทั้งหมดที่ว่า หากข้อเสนอเช่นนั้นและเช่นนั้นเป็นจริงเกี่ยวกับ สิ่งใดก็ตาม แล้วข้อเสนออื่นเช่นนั้นและเช่นนั้นก็เป็นจริงเกี่ยวกับสิ่งนั้น มันจำเป็นที่จะไม่โต้แย้งว่าข้อเสนอแรกนั้นจริงหรือไม่ และไม่ต้องกล่าวถึงว่าสิ่งนั้นคืออะไร ซึ่งมันควรจะเป็นจริง
ที่นี่คุณจะเห็นการผสมผสานระหว่างสำนักตรรกะและฟอร์มาลิสต์ และความเป็นหมันของมุมมองของพวกเขา นักตรรกศาสตร์ล้มเหลวในการโน้มน้าวผู้คนว่าแนวทางของพวกเขาไม่ใช่แค่การฝึกฝนตรรกะที่ไร้สาระ อันที่จริง ผมจะเสนออย่างหนักแน่นว่าสิ่งที่มักเรียกกันว่ารากฐานของคณิตศาสตร์เป็นเพียงชั้นดาดฟ้าเท่านั้น ตัวอย่างง่ายๆ คือ เป็นเวลาหลายปีที่ผมพูดว่าถ้าคุณเข้ามาในห้องทำงานของผมและแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Cauchy นั้นผิด หมายความว่าไม่สามารถหามาได้จากสมมติฐานปกติ ผมก็จะสนใจแน่นอน แต่ในที่สุดผมจะบอกให้คุณกลับไปหาสมมติฐานใหม่—ผม รู้ ว่าทฤษฎีบทของ Cauchy "เป็นจริง" ดังนั้น อย่างน้อยสำหรับผม คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นไปตามสมมติฐานเพียงอย่างเดียว แต่บ่อยครั้งที่สมมติฐานเป็นไปตามทฤษฎีบทที่เรา "เชื่อว่าเป็นจริง" ผมมีแนวโน้ม เช่นเดียวกับคนอื่นๆ อีกมาก ที่จะจัดกลุ่มฟอร์มาลิสต์และนักตรรกศาสตร์ไว้ด้วยกัน
แน่นอนว่า คณิตศาสตร์ไม่ใช่การวางสัจพจน์แล้วทำการอนุมานอย่างเคร่งครัดจากพวกมัน อย่างที่ฟอร์มาลิสต์แสร้งทำ ที่จริงแล้ว นักศึกษาบัณฑิตทางคณิตศาสตร์เกือบทุกคนมีประสบการณ์ว่าต้อง "ปะแก้" บทพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ในอดีต และถึงอย่างนั้นทฤษฎีบทก็ไม่เปลี่ยนแปลงมากนัก แม้ว่าแน่นอนว่านักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนนั้นไม่ได้ "พิสูจน์" ทฤษฎีบทที่กำลังถูกปะแก้จริงๆ ก็ตาม มันเป็นความจริง (แม้ไม่ค่อยมีการกล่าวถึง) ว่า นิยามในคณิตศาสตร์มีแนวโน้มที่จะ "เลื่อน" และเปลี่ยนแปลงไปเล็กน้อยตามกาลเวลา ดังนั้นบทพิสูจน์ก่อนหน้านี้จึงใช้ไม่ได้กับข้อความของทฤษฎีบทเดียวกันอีกต่อไป เนื่องจากตอนนี้เราเข้าใจคำศัพท์ต่างออกไปเล็กน้อย
สำนักที่สี่คือ สำนักสัญชาตญาณ (intuitionists) ซึ่งเผชิญหน้ากับภาวะกลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้อย่างกล้าหาญและไม่สนใจความเข้มงวด ถ้าคุณต้องการความเข้มงวดสมบูรณ์แบบ เนื่องจากเรามีมาตรฐานความเข้มงวดที่สูงขึ้นเรื่อยๆ ก็สันนิษฐานได้ว่าไม่มีทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วในปัจจุบันที่ "พิสูจน์" จริงๆ อนาคตจะต้องปะแก้ผลลัพธ์ของเรา หมายความว่าเราจะไม่ได้ "พิสูจน์" อะไรเลย! ผมคิดว่า ถ้าคุณต้องการทราบจุดยืนของผม ผมเป็นนักสัญชาตญาณส่วนหนึ่ง ตัวอย่างข้างต้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Cauchy แสดงให้เห็นทัศนคติของผมที่ว่าคณิตศาสตร์ควรทำในสิ่งที่ผมต้องการให้มันทำ ตรงกันข้ามกับ แอร์มิท (1822–1901) ซึ่งกล่าวว่า "เราไม่ใช่นายของคณิตศาสตร์ แต่เป็นผู้รับใช้" ผมมีแนวโน้มที่จะเชื่อ (บางครั้ง) ว่าเราเป็นนาย สัจพจน์ของคณิตศาสตร์ไม่ได้อยู่บนแผ่นศิลาที่โมเสสนำลงมาจากภูเขาซีนาย สิ่งเหล่านี้มนุษย์สร้างขึ้นและดังนั้นจึงเปลี่ยนแปลงได้ตามที่เราต้องการ ทั้งมุมมองของผมที่ให้ไว้ข้างต้นและของแอร์มิทไม่ถูกต้องทั้งหมด ความจริงคือการผสมผสานของทั้งสอง—เราทั้งเป็นนายและเป็นผู้รับใช้ของคณิตศาสตร์
ธรรมชาติของภาษาของเรามีแนวโน้มที่จะบังคับเราให้อยู่ในกรอบ "ใช่/ไม่ใช่" บางสิ่งเป็นหรือไม่เป็น คุณมีบทพิสูจน์หรือคุณไม่มี แต่เมื่อเรายอมรับว่ามีมาตรฐานความเข้มงวดที่เปลี่ยนแปลงไป เราก็ต้องยอมรับว่าบทพิสูจน์บางอย่างน่าเชื่อถือมากกว่าบทพิสูจน์อื่น ถ้าคุณมองบทพิสูจน์ในสเกลที่คล้ายกับความน่าจะเป็น ตั้งแต่ 0 ถึง 1 แล้วบทพิสูจน์ทั้งหมดก็อยู่ในช่วงนี้ และแทบจะไม่มีวันถึงขีดจำกัดบนของ 1 คือความแน่นอน
สำนักใหญ่สุดท้ายคือ สำนักสร้างสรรค์ (constructivists) . พวกเขายืนกรานให้คุณมีวิธีการที่ชัดเจนในการสร้างทุกสิ่งที่คุณพูดถึง และไม่ดำเนินการอย่างที่ฟอร์มาลิสต์ทำ ซึ่งกล่าวว่าถ้าชุดของสัจพจน์ไม่ถูกพิสูจน์ว่าขัดแย้งกัน วัตถุที่สัจพจน์เหล่านี้นิยามก็ "มีอยู่" แนวทางของคอนสตรัคติวิสต์อาจทำให้คุณมีปัญหามากมาย ไม่มีพื้นฐานที่เข้มงวดจริงๆ สำหรับคณิตศาสตร์สำหรับสำนักอื่นอีกสี่สำนัก แต่คอนสตรัคติวิสต์นั้นเคร่งครัดเกินไปสำหรับรสนิยมของพวกเราหลายคน เพราะพวกเขาตัดสิ่งที่มีคุณค่าในทางปฏิบัติออกไปมากเกินไป นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ยกเว้นคนในกลุ่ม ai มักจะอยู่ในสำนักคอนสตรัคติวิสต์ หาก พวกเขาคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้เลย
อันที่จริง นักวิเคราะห์เชิงตัวเลขบางคนมีแนวโน้มที่จะเชื่อว่าระบบจำนวนจริงคือรูปแบบบิตในคอมพิวเตอร์—นั่นคือความจริงที่แท้จริงตามที่พวกเขากล่าว และระบบจำนวนที่นักคณิตศาสตร์จินตนาการขึ้นก็เป็นเพียงสิ่งที่จินตนาการเท่านั้น ผู้ใช้คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่แค่ใช้มันเป็นเครื่องมือ และให้ความสนใจเพียงเล็กน้อยหรือไม่มีเลยกับปรัชญาพื้นฐานของตน
มีกลุ่มคนในซอฟต์แวร์ที่เชื่อว่าเราควร "พิสูจน์ว่าโปรแกรมถูกต้อง" เหมือนกับที่เราพิสูจน์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ว่าถูกต้อง ข้อผิดพลาดสองประการที่พวกเขาทำคือ:
- เราไม่ได้ "พิสูจน์" ทฤษฎีบทจริงๆ!
- ปัญหาการเขียนโปรแกรมที่สำคัญหลายอย่างไม่สามารถนิยามได้ชัดเจนพอที่จะให้บทพิสูจน์ได้ ยิ่งไปกว่านั้น โปรแกรมที่ออกมานั่นแหละที่นิยามปัญหา!
นี่ไม่ได้หมายความว่าไม่มีสิ่งที่มีค่าในแนวทางการพิสูจน์ว่าโปรแกรมถูกต้องของพวกเขา เพียงแต่ว่า อย่างที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง ข้อกล่าวอ้างของพวกเขานั้นเกินจริงไปมาก
นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่อยู่ในสำนักเพลโตเมื่อพวกเขาทำคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน แต่เมื่อถูกกดดันให้อภิปรายอย่างชัดเจนว่าพวกเขากำลังทำอะไรอยู่ พวกเขามักจะหลบไปอยู่ในสำนักฟอร์มาลิสต์และอ้างว่าคณิตศาสตร์เป็นเกมที่ไร้ความหมายโดยพื้นฐานกับสัญลักษณ์ (ไม่ใช่ว่าพวกเขาเชื่ออย่างนั้นจริงๆ แต่มันเป็นจุดยืนที่ดีและป้องกันตัวได้) พวกเขาแสร้งทำเป็นเชื่อในคำพูดข้างต้นของ รัสเซล
อย่างที่คุณทราบจากวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียน สิ่งที่คุณทำจริงๆ เมื่อมองในระดับปรัชญานั้น แทบจะไม่เคยถูกกล่าวถึง อาจารย์ยุ่งเกินไปกับการทำรายละเอียดของคณิตศาสตร์จนไม่เคยอภิปรายว่าพวกเขากำลังทำอะไรจริงๆ—เป็นพฤติกรรมของช่างเทคนิคทั่วไป!
อย่างไรก็ตาม อย่างที่คุณทุกคนทราบ คณิตศาสตร์มีประโยชน์อย่างน่าทึ่งในโลกนี้ และเราใช้มันโดยไม่ค่อยได้คิดมากนัก ดังนั้นเราจึงต้องการการอภิปรายเพิ่มเติมเกี่ยวกับเนื้อหาพื้นฐานนี้ที่คุณใช้โดยปราศจากการคิด
ชาวกรีกโบราณเชื่อว่าคณิตศาสตร์คือ "ความจริง" พวกเขาไม่มีความสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้เลย อะไรจะแน่นอนไปกว่า 1 + 1 = 2 ? แต่จำได้ไหมตอนที่เราพูดถึงรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด เราได้กล่าวว่า 1 + 1 = 0 . การใช้สัญลักษณ์เดียวกันในหลายความหมาย (คุณสามารถอ้างได้ว่าเลข 1 ในสองข้อความนั้นไม่ใช่สิ่งเดียวกันถ้าคุณต้องการ) ขัดแย้งกับการใช้เชิงตรรกะ น่าจะเป็นตอนที่เรขาคณิตนอกแบบยุคลิดเกิดขึ้นครั้งแรกที่นักคณิตศาสตร์ต้องเผชิญหน้ากับเรื่องที่ว่าอาจมีระบบคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันได้ พวกเขาใช้คำเดียวกัน เช่น จุด เส้น และระนาบ แต่เห็นได้ชัดว่า ความหมาย ที่แนบมากับคำศัพท์นั้นแตกต่างกัน นี่ไม่ใช่เรื่องใหม่สำหรับคุณ ตอนที่คุณเรียนเรื่อง แรง ในกลศาสตร์และการรวมแรง คุณต้องยอมรับว่าการรวมแบบสเกลาร์ไม่เหมาะสำหรับการรวมแบบเวกเตอร์ และคำว่า "งาน" ในฟิสิกส์ก็ไม่เหมือนกับที่เราใช้ทั่วไปในชีวิตจริง
ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์ที่คุณเลือกใช้ต้องมาจากสาขาของการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์ไม่ใช่สากลและไม่ใช่ "ความจริง" แล้วเราจะเลือกคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องสำหรับการประยุกต์ใช้ต่างๆ ได้อย่างไร? สัญลักษณ์ของคณิตศาสตร์มีความหมายในตัวเองอย่างไร? การวิเคราะห์อย่างระมัดระวังชี้ให้เห็นว่า "ความหมาย" ของสัญลักษณ์เกิดขึ้นจากวิธีการใช้มันเท่านั้น ไม่ใช่จากนิยามอย่างที่ Euclid—และคุณ—คิดเมื่อเขานิยามจุด เส้น และระนาบ ตอนนี้เราตระหนักแล้วว่านิยามของเขาทั้งเป็นวงกลมและไม่ได้นิยามสิ่งใดอย่างชัดเจน ความหมายต้องมาจากความสัมพันธ์ระหว่างสัญลักษณ์ มันเหมือนกับภาษาเชิงตีความที่ผมร่างไว้ในบทที่ 4: ความหมายของคำสั่งอยู่ในซับรูทีนที่มันเรียก—วิธีการประมวลผลสัญลักษณ์—ไม่ใช่ในชื่อของมันเอง! ในตัวมันเอง เครื่องหมายเป็นแค่สตริงของบิตในเครื่องจักร และไม่สามารถมีความหมายใดๆ ได้ยกเว้นจากวิธีการใช้มัน
นักคณิตศาสตร์ ดอดจ์สัน (Lewis Carroll) ผู้เขียน Alice in Wonderland และ Through the Looking Glass เชี่ยวชาญด้านตรรกะ และหนังสือสองเล่มนี้เป็นการแสดงให้เห็นอย่างกว้างขวางว่าความหมายอยู่ในวิธีการใช้อย่างไร ดังนั้น Humpty Dumpty ยืนยันว่าเมื่อเขาใช้คำ มันหมายถึงสิ่งที่เขาต้องการให้มันหมายถึง ไม่มากไม่น้อย อลิซรู้สึกว่าคำศัพท์มีความหมายที่เป็นอิสระจากการใช้งาน และไม่ควรถูกใช้ตามอำเภอใจ
ถึงตอนนี้มันควรจะชัดเจนแล้วว่าสัญลักษณ์หมายถึงสิ่งที่เราเลือกให้มันหมายถึง คุณทุกคนคุ้นเคยกับภาษาธรรมชาติที่แตกต่างกันซึ่งคำศัพท์ (ป้ายชื่อ) ที่แตกต่างกันถูกกำหนดให้กับแนวคิดเดียวกัน ย้อนกลับไปที่เพลโต: เก้าอี้คืออะไร? มันเป็นแนวคิดเดียวกันเสมอหรือขึ้นอยู่กับบริบท? ที่ปิกนิก ก้อนหินสามารถเป็นเก้าอี้ได้ แต่คุณไม่ได้ คาดหวัง ให้ใช้ก้อนหินในห้องนั่งเล่นของใครบางคนเป็นเก้าอี้ คุณยังรู้ด้วยว่าพจนานุกรมใดๆ ต้องเป็นวงกลม คำแรกที่คุณค้นหาต้องถูกนิยามในรูปของคำอื่น—ไม่มีคำนิยามแรกที่ไม่ใช้คำพูด
คุณอาจสงสัยว่าเด็กเรียนรู้ภาษาได้อย่างไร การเรียนภาษาที่สองเมื่อคุณรู้ภาษาแรกแล้วเป็นเรื่องหนึ่ง แต่การเรียนรู้ภาษาแรกเป็นอีกเรื่อง—ไม่มีที่แรกให้หาความหมาย คุณทำได้บ้างด้วยท่าทางสำหรับคำนามและคำกริยา แต่เห็นได้ชัดว่าหลายคำไม่สามารถชี้บอกได้ เมื่อผมชี้ไปที่ม้าและพูดคำว่า "ม้า" ผมกำลังบอกชื่อของม้าตัวนั้น ชื่อทั่วไปของม้า สัตว์สี่เท้า สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม สิ่งมีชีวิต หรือสีของม้า? อีกฝ่ายจะรู้ได้อย่างไรว่าหมายถึงความหมายไหนในสถานการณ์นั้น? ที่จริงแล้ว เด็กเรียนรู้ที่จะแยกแยะระหว่างม้าที่เป็นรูปธรรม เฉพาะเจาะจง และประเภทเชิงนามธรรมของม้าได้อย่างไร?
เห็นได้ชัดว่า อย่างที่ผมกล่าวข้างต้น ความหมายเกิดจากการใช้คำ ไม่ได้นิยามด้วยวิธีอื่น เมื่อหลายปีก่อน พจนานุกรมชื่อดังเล่มหนึ่งออกมาและยอมรับว่าพวกเขาไม่สามารถกำหนดวิธีการใช้ได้ พวกเขาทำได้แค่บอกว่าคำศัพท์ถูกใช้อย่างไร พวกเขาต้องเป็น "เชิงพรรณนา" ไม่ใช่ "เชิงกำหนด" การที่ไม่มีที่มาที่ไปของความหมายที่แน่นอนสำหรับทุกคำทำให้หลายคนโกรธมาก ตัวอย่างเช่น ทั้งนักวิจารณ์หนังสือของ New Yorker และนักสืบในนิยายอย่าง Nero Wolfe ไม่พอใจพจนานุกรมนี้มาก
ตอนนี้เราเห็นแล้วว่า "ความจริง" ทั้งหมดที่ควรจะอยู่ในคณิตศาสตร์นั้นเป็นภาพลวงตา มันเป็นเพียงธรรมเนียมปฏิบัติของมนุษย์ตามอำเภอใจ
แต่แล้วเราก็ต้องเผชิญกับ ประสิทธิผลที่ไร้เหตุผลของคณิตศาสตร์ . เมื่ออ้างว่าไม่มีความจริงหรือความหมายในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แล้ว ตอนนี้ผมก็ต้องอธิบายข้อเท็จจริงง่ายๆ ที่ว่าคณิตศาสตร์ถูกใช้และเป็นส่วนสำคัญที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ของสังคมของเรา โดยเฉพาะในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ เราได้ผ่านจากความจริงที่แน่นอนในคณิตศาสตร์ มาสู่สภาวะที่เราเห็นว่าไม่มีความหมายใดๆ เลยในสัญลักษณ์—แต่เรายังคงใช้มัน! เราใส่ความหมายลงในสัญลักษณ์เมื่อเราแปลงสมมติฐานของปัญหาเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และอีกครั้งเมื่อเราตีความผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตรเดียวกันในหลายสถานการณ์ที่แตกต่างกัน—คณิตศาสตร์เป็นเหมือนเครื่องมือทางจิตสากลสำหรับการคิดอย่างชัดเจน
ความขัดแย้งพื้นฐานของชีวิต ซึ่ง ไอน์สไตน์กล่าวไว้อย่างดี คือ ดูเหมือนว่าโลกถูกสร้างขึ้นอย่างมีตรรกะ . นี่คือสิ่งที่น่าอัศจรรย์ที่สุด—โลกสามารถเข้าใจได้ด้วยตรรกะและคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ผมขอเตือนคุณว่า การพัฒนาล่าสุดในฟิสิกส์พื้นฐานทำให้เกิดข้อสงสัยกับคำพูดของเขา และเรื่องนี้จะอภิปรายในบทถัดไป
สมมติว่าคำพูดของไอน์สไตน์ข้างต้นเป็นจริง ปัญหาของการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ก็คือการตระหนักถึงความคล้ายคลึงระหว่างโครงสร้างทางคณิตศาสตร์รูปนัยกับส่วนที่สอดคล้องกันของ "ความเป็นจริง" ตัวอย่างเช่น สำหรับรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด ผมต้องเห็นว่าสำหรับสัญลักษณ์ของรหัส ถ้าผมใช้ 0 และ 1 เป็นสัญลักษณ์พื้นฐาน และใช้ 1 สำหรับตำแหน่งของข้อผิดพลาด (ข้อผิดพลาดคือสตริงของ 0 ที่มี 1 หนึ่งตัวตรงตำแหน่งที่เกิดข้อผิดพลาด) ผมก็สามารถ "บวก" สตริงได้ก็ต่อเมื่อผมเลือก 1 + 1 = 0 เป็นเลขคณิตพื้นฐานของผม ข้อผิดพลาดสองครั้งติดต่อกันในตำแหน่งเดียวกันก็เหมือนกับไม่มีข้อผิดพลาด ผมต้องเห็นความคล้ายคลึงระหว่างส่วนต่างๆ ของปัญหาและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ซึ่งตอนแรกผมแทบจะไม่เข้าใจ
ดังนั้น ส่วนหนึ่งของประสิทธิผลของคณิตศาสตร์เกิดจากการตระหนักถึงความคล้ายคลึง และเพียงเท่าที่ความคล้ายคลึงนั้นกว้างขวางและแม่นยำ เราจึงสามารถใช้คณิตศาสตร์ทำนายสิ่งที่จะเกิดขึ้นในโลกจริงจากการจัดการสัญลักษณ์บนโต๊ะทำงานของเรา
คุณถูกสอนให้รู้จักการเทียบเคียงระหว่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และส่วนต่างๆ ของความเป็นจริงมาแล้วมากมาย แต่ผมสงสัยว่าสิ่งเหล่านี้จะครอบคลุมการพัฒนาในอนาคตทั้งหมด ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อเราต้องการทำสิ่งใหม่ๆ ที่เป็นไปได้ในตอนนี้มากขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจากความก้าวหน้าทางเทคนิคในรูปแบบต่างๆ รวมถึงการทำความเข้าใจตัวเราเองให้ดีขึ้น เราจะต้องใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย
ผมเสนอ โดยไม่มีข้อพิสูจน์ใดๆ ว่าในอดีตเราพบการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ที่ง่าย สถานการณ์ที่มีความสอดคล้องอย่างใกล้ชิดระหว่างโครงสร้างทางคณิตศาสตร์กับส่วนที่ถูกสร้างแบบจำลอง และในอนาคตคุณจะต้องพอใจกับความคล้ายคลึงที่ด้อยกว่าระหว่างสองส่วนนี้ ผมเชื่อว่าเมื่อเวลาผ่านไป เราจะต้องการแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ซึ่งส่วนรวมไม่ใช่ผลรวมของส่วนย่อย แต่ส่วนรวมอาจมากกว่านั้นมาก เนื่องมาจาก "การทำงานร่วมกัน" ระหว่างส่วนย่อย คุณทุกคนคุ้นเคยกับข้อเท็จจริงที่ว่าองค์กรที่คุณอยู่มักจะมากกว่าผลรวมของบุคคล—มีขวัญกำลังใจ วิธีการควบคุม นิสัย ธรรมเนียม ประวัติศาสตร์ ฯลฯ ซึ่งแยกออกจากบุคคลเฉพาะในองค์กรได้อย่างไม่มีนิยามชัดเจน แต่ถ้าคณิตศาสตร์คือการคิดอย่างชัดเจน อย่างที่ผมกล่าวตอนเริ่มบทนี้ คณิตศาสตร์ก็จะต้องเข้ามาช่วยเหลือสำหรับปัญหาแบบนี้ในอนาคต หรือพูดอีกอย่างคือ ไม่ว่าคุณจะคิดอย่างชัดเจนแบบใด โดยเฉพาะถ้าคุณใช้สัญลักษณ์ นั่นก็คือคณิตศาสตร์!
ผมอยากจะปิดท้ายด้วยความคิดที่รบกวนจิตใจยิ่งกว่านั้น มันไม่ชัดเจน แม้ว่าหลายคนตั้งแต่ชาวกรีกโบราณเป็นต้นมาจะทำราวกับว่ามันเป็นความจริง ว่าทุกสิ่ง ไม่ว่าจะเป็นอะไรก็ตาม สามารถใส่เป็นคำพูดได้—คุณสามารถพูดถึงอะไรก็ได้: เทพเจ้า ความจริง ความงาม และความยุติธรรม แต่ถ้าคุณพิจารณาสิ่งที่เกิดขึ้นใน คอนเสิร์ตดนตรี มันก็ชัดเจนว่าสิ่งที่ถูกส่งถึงผู้ฟังไม่สามารถใส่เป็นคำพูดได้—ถ้าสามารถใส่เป็นคำพูดได้ ผู้ประพันธ์และนักดนตรีก็น่าจะใช้คำพูดแทน นักวิจารณ์ดนตรีจะคิดอย่างไรก็ตาม สิ่งที่ดนตรีสื่อสารไม่สามารถ (เห็นได้ชัด) ใส่เป็นคำพูดได้ ในทำนองเดียวกัน แต่ในระดับที่น้อยกว่า สำหรับจิตรกรรม กวีนิพนธ์เป็นสาขาที่น่าสนใจซึ่งใช้คำพูด แต่เนื้อหาที่แท้จริงของบทกวีไม่ได้อยู่ในคำพูด!
ในทำนองเดียวกัน สามสิ่งของกรีกคลาสสิก ความจริง ความงาม และความยุติธรรม แม้ว่าคุณทุกคนคิดว่าคุณรู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่ไม่สามารถ (เห็นได้ชัด) ใส่เป็นคำพูดได้ ตั้งแต่สมัยฮัมมูราบี ความพยายามที่จะใส่ความยุติธรรมเป็นคำพูดได้ก่อให้เกิด กฎหมาย และบ่อยครั้งกฎหมายก็ไม่ใช่แนวคิดเรื่องความยุติธรรมของคุณ มีคำถามที่มีชื่อเสียงในพระคัมภีร์ "ความจริงคืออะไร?" และใครอื่นนอกจากกรรมการประกวดความงามจะกล้าตัดสิน "ความงาม"?
ดังนั้นผมจึงไปไกลกว่าข้อจำกัดของทฤษฎีบทของเกอเดิล ซึ่งกล่าวอย่างคร่าวๆ ว่าถ้าคุณมีระบบสัญลักษณ์ที่ไม่ต่อเนื่องที่สมบูรณ์พอสมควร (ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้หมายถึงคณิตศาสตร์แม้ว่ามักจะถูกนำเสนอเช่นนั้น) ก็จะมีข้อความที่ไม่สามารถพิสูจน์ความจริงหรือเท็จภายในระบบได้ ตามมาว่าถ้าคุณเพิ่มสมมติฐานใหม่เพื่อแก้ไขทฤษฎีบทเหล่านี้ ก็จะมีทฤษฎีบทใหม่ที่คุณไม่สามารถจัดการได้ภายในระบบที่ขยายใหญ่ขึ้น นี่บ่งชี้ถึงข้อจำกัดที่ชัดเจนของระบบสัญลักษณ์ที่ไม่ต่อเนื่อง
เมื่อมองแวบแรก ภาษาเป็นเพียงระบบสัญลักษณ์ที่ไม่ต่อเนื่อง เมื่อคุณมองใกล้ขึ้น ทฤษฎีบทของเกอเดิลสมมติให้มีชุดสัญลักษณ์ที่แน่นอนซึ่งมีความหมายไม่เปลี่ยนแปลง (แม้บางสัญลักษณ์อาจขึ้นกับบริบทได้) แต่อย่างที่คุณทราบ คำศัพท์มีความหมายหลายอย่าง และมีระดับของความหมาย ตัวอย่างเช่น คำว่า "สูง" ใน "ตึกสูง" "คนสูง" หรือ "เรื่องสูงเกินจริง" ไม่ได้มีความหมายเหมือนกันทุกครั้งที่ใช้ อันที่จริง น้ำเสียง การยกคิ้ว การขยิบตา หรือแม้แต่รอยยิ้มก็สามารถเปลี่ยนความหมายของสิ่งที่กำลังพูดได้ ดังนั้นภาษาในแบบที่เราใช้จริงจึงไม่สอดคล้องกับสมมติฐานของทฤษฎีบทของเกอเดิล และที่จริงมันอาจเป็นเหตุผลที่ภาษามีลักษณะเฉพาะที่แปลกประหลาดเช่นนี้ ในชีวิตจริง มันจำเป็นต้องหลีกหนีข้อจำกัดของทฤษฎีบทของเกอเดิล เรารู้น้อยมากเกี่ยวกับวิวัฒนาการของภาษา และแรงผลักดันที่เลือกรูปแบบหนึ่งเหนืออีกรูปแบบหนึ่งในการอยู่รอดของภาษาที่เหมาะสมที่สุด จนเราแทบจะทำได้แค่เดาในขั้นความรู้เกี่ยวกับภาษาและสถานการณ์ที่ภาษาพัฒนาและวิวัฒนาการนี้
คอมพิวเตอร์มาตรฐานในปัจจุบันสามารถจัดการสัญลักษณ์ที่ไม่ต่อเนื่องได้ (แม้สิ่งที่ โครงข่ายประสาทเทียมบางประเภทจัดการอาจเป็นอีกเรื่องหนึ่ง) ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าอาจมีหลายสิ่งที่พวกมันไม่สามารถจัดการได้ ดังที่กล่าวไว้ในบทที่ 19 ถ้าคุณสมมติว่าโครงข่ายประสาทเทียมมีแบนด์วิธที่ใช้งานได้จำกัด ทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างก็ให้ความเท่าเทียมกันระหว่างแบนด์วิธและอัตราการสุ่มตัวอย่าง
ผมคิดว่าในอดีตเราทำปัญหา easyๆ ไปแล้ว และในอนาคตเราจะเผชิญกับปัญหาที่เหลืออยู่มากขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งต้องการวิธีคิดและแนวทางใหม่ๆ ปัญหาจะไม่หายไป—ดังนั้นคุณจะถูกคาดหวังให้รับมือกับปัญหาเหล่านั้น—และผมกำลังแนะนำว่าบางครั้ง คุณอาจต้องคิดค้นคณิตศาสตร์ใหม่ เพื่อจัดการกับมัน อนาคตของคุณควรน่าตื่นเต้นถ้าคุณตอบสนองต่อความท้าทายด้วยวิธีใหม่ๆ ที่สอดคล้องกัน เห็นได้ชัดว่ายังมีอะไรอีกมากมายให้ค้นพบในอนาคตมากกว่าที่เราค้นพบมาแล้วทั้งหมดในอดีต!