23

Mathematics (คณิตศาสตร์)

เมื่อคุณใช้ชีวิต ความสนใจของคุณมักจะอยู่กับสิ่งที่ปรากฏอยู่ข้างหน้า ส่วนสิ่งเบื้องหลังมักถูกถือว่าเป็นเรื่องปกติ เรามักรับสิ่งพื้นฐานอย่างอากาศ น้ำ และหลายอย่าง เช่น ภาษาและคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องที่ไม่ต้องคิดมาก เมื่อคุณทำงานในองค์กรนาน ๆ โครงสร้าง วิธีการ และ 'ethos' ขององค์กรมักถูกมองข้าม

บางครั้งมันคุ้มค่าที่จะตรวจสอบสิ่งเบื้องหลังซึ่งไม่เคยได้รับความสนใจของคุณอย่างใกล้ชิดมาก่อน เพราะก้าวสำคัญมักเกิดจากการทำเช่นนั้นและไม่ค่อยเกิดจากวิธีอื่น ด้วยเหตุนี้เราจะมาพิจารณาคณิตศาสตร์ ถึงแม้ว่าการพิจารณาภาษาก็อาจให้ประโยชน์เช่นกัน เราใช้คณิตศาสตร์โดยไม่เคยพูดถึงว่ามันคืออะไร — คนส่วนใหญ่ในที่นี้อาจไม่เคยคิดจริง ๆ คุณแค่ทำคณิตศาสตร์ แต่คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม

อาจจะมีคำจำกัดความหนึ่งที่ถูกนักคณิตศาสตร์ชอบใช้ว่า:

คณิตศาสตร์คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ และนักคณิตศาสตร์คือผู้ที่ทำคณิตศาสตร์

ประโยคนี้มาจากนักคณิตศาสตร์ จึงมีความวนซ้ำที่ดูขำขัน แต่ก็เป็นการยอมรับอย่างชัดเจนว่าพวกเขาไม่คิดว่าคณิตศาสตร์จะนิยามได้อย่างเพียงพอ มีหนังสือเล่มหนึ่งชื่อ What Is Mathematics? ซึ่งผู้เขียนแสดงตัวอย่างคณิตศาสตร์แต่ไม่ได้พยายามนิยามมัน

ครั้งหนึ่งในการพบปะสังสรรค์ หัวหน้าฝ่ายคณิตศาสตร์ของ Bell Telephone Laboratories พูดประโยคหนึ่งกับหญิงสาวคนหนึ่งถึงสามครั้ง

คณิตศาสตร์ไม่ต่างจากการคิดอย่างชัดเจนเท่านั้นเอง

ผมสงสัยว่าเธอจะเห็นด้วยไหม แต่เธอก็เปลี่ยนเรื่องในที่สุด; ประโยคนั้นทำให้ผมประทับใจ คุณอาจจะพูดอย่างนี้ได้ว่า:

คณิตศาสตร์คือภาษาของการคิดอย่างชัดเจน

ไม่ได้หมายความว่าคณิตศาสตร์สมบูรณ์แบบ — ไม่ใช่เลย — แต่ก็ไม่มีสิ่งที่ดีกว่าที่จะใช้ได้ง่าย ๆ แค่ดูระบบกฎหมายและคนเก็บภาษี กับการใช้ภาษาธรรมชาติเพื่อสื่อความหมาย แล้วจะเห็นว่าภาษาอังกฤษไม่เพียงพอสำหรับการคิดอย่างชัดเจน ประโยคง่าย ๆ “ฉันกำลังโกหก” ก็ขัดแย้งในตัวมันเอง!

มีภาษาเชิงธรรมชาติมากมายบนโลกใบนี้ แต่โดยพื้นฐานแล้วมีเพียงหนึ่งภาษาของคณิตศาสตร์ จริงอยู่ โรมันเขียน VII, ระบบอารบิกเขียน 7 (แน่นอน 7 ในที่นี้เป็นรูปแบบละติน ไม่ใช่อักษรอารบิก), และเลขฐานสองคือ 111 แต่เบื้องหลังสัญลักษณ์เหล่านี้คือแนวคิดเดียวกัน เลข 7 ก็ยังเป็นเลข 7 ในทุกการเขียน และในทุกสัญลักษณ์มันเป็นจำนวนเฉพาะ เลข 7 ไม่ควรถูกสับสนกับการแทนค่าของมัน

คนส่วนใหญ่ที่คิดอย่างจริงจังในเรื่องนี้เห็นพ้องว่าถ้าเราเคยสื่อสารกับอารยธรรมรอบดวงอาทิตย์ไกล ๆ พวกเขาก็น่าจะมีคณิตศาสตร์ที่โดยพื้นฐานเหมือนกับของเรา จำไว้ว่าข้อสมมติคือเราสามารถสื่อสารกับพวกเขา ซึ่งดูเหมือนจะหมายความว่าพวกเขาต้องพัฒนาจนรู้สมการเทียบเท่ากับ Maxwell ผมควรบอกว่ามีปรัชญาบางคนสงสัยว่าระบบการสื่อสารของพวกเขาเอง หรือรายละเอียดใด ๆ ของมัน จะคล้ายกับของเราเลยหรือไม่ แต่คนที่ชอบจินตนาการมากจนเกินไปมักผิดพลาด (ดูตัวอย่างการคาดเดาว่าพื้นผิวดวงจันทร์จะมีฝุ่นเป็นเมตร ๆ จนยานอวกาศจะจมและทำให้คนขาดอากาศ)

สรุป: Figure 23.1—Anticongruent triangles

Figure 23.2—sin ของ Ptolemy (Ptolemy’s sine)

สรุป: The words “essentially equivalent” are necessary because, for example, their Euclidean geometry may include orientation, and thus for the aliens two triangles may be congruent or anticongruent, Figure 23.1. Similarly, Ptolemy, in his Almagest on astronomy, used the sin x where we would use 2 sin(x/2), Figure 23.2 but essentially the idea is the same.

ตลอดหลายปีที่ผ่านมา มีโรงเรียนความคิดหลัก ๆ เกิดขึ้นห้าแนวเกี่ยวกับความหมายของคณิตศาสตร์ และยังไม่มีแนวไหนที่ถือว่าพอเพียง

ที่เก่าแก่ที่สุด และอาจเป็นแนวที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ยึดถือเมื่อพวกเขาไม่คิดอย่างรอบคอบ คือแนว Platonic school Plato (427–347 bc) อ้างว่า แนวคิด ของตัวอย่างเช่น เก้าอี้ มีความจริงกว่าตัวเก้าอี้เฉพาะตัว ที่นั่งจริง ๆ เสื่อมสลายและสูญหายได้ แต่เก้าอี้ในอุดมคติคงอยู่นิรันดร์ ดังนั้นเขาจึงสรุปว่าโลกของความคิดมีความจริงมากกว่าจักรวาลทางกายภาพ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์และผลลัพธ์อื่น ๆ อยู่ในโลกความคิดนี้ (ตามคำกล่าวของ Plato) รวมทั้งตัวเลขเช่น 7 ซึ่งไม่มีการดำรงอยู่ในโลกทางกายภาพ คุณไม่เคยเห็น ได้ยิน สัมผัส ลิ้มรส หรือดมกลิ่นเลข 7 บริสุทธิ์ คุณอาจเห็นม้า 7 ตัว วัว 7 ตัว เก้าอี้ 7 ตัว แต่ไม่ใช่เลข 7 โดยตัวมันเอง — 7 บริสุทธิ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการแทนค่าพิเศษใด ๆ ในภาพที่ Plato ใช้ เราเห็นความจริงเพียงเงาที่ตกบนผนัง ความจริงแท้ไม่เคยปรากฏแก่สายตา มีเพียงเงาของความจริงที่เข้าถึงประสาทสัมผัสของเรา ใจของเราข้ามพ้นข้อจำกัดนี้และเข้าถึงแนวคิดที่เป็นความจริงแท้ ตามที่ Plato กล่าว

ดังนั้นคณิตศาสตร์ในมุมมอง Platonist จะบอกว่าพวกเขา “ค้นพบ” ผลลัพธ์ มากกว่าจะบอกว่าพวกเขา “สร้าง” มัน หากผมเป็น Platonist ผมจะบอกว่าผม “ค้นพบ” รหัสแก้ความผิดพลาด มากกว่าที่จะพูดว่าผมได้ “สร้าง” มัน ผลลัพธ์เหล่านั้นมีอยู่แล้ว คอยให้ค้นพบ — มันเป็นไปได้อยู่เสมอ

ปัญหาของลัทธิพลาโตคือมันไม่น่าเชื่อถือมาก และไม่สามารถอธิบายการวิวัฒนาการของคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน ความคิดและคำนิยามพื้นฐานของคณิตศาสตร์ได้เปลี่ยนไปตามกาลเวลา ซึ่งไม่สอดคล้องดีกับแนวคิดเรื่องแนวคิดนิรันดร์ของ Plato ความคิดเรื่องความต่อเนื่องของ Euler (1707–1783) แตกต่างจากที่คุณเรียนมาแน่นอน แน่นอนคุณสามารถอ้างได้ว่าการเปลี่ยนแปลงเกิดจากการที่เรา “เห็นแนวคิดชัดขึ้น” เมื่อเวลาผ่านไป แต่เมื่อพิจารณาเรขาคณิตไม่ใช่ยูคลิด ซึ่งเกิดจากการดัดแปลงเพียงข้อขนาน แล้วคิดถึงเรขาคณิตอื่น ๆ อีกมากมายที่อาจมีอยู่ในพื้นที่ Platonist เมื่อคิดเช่นนี้ แนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดและผลลัพธ์ทางตรรกะทั้งหมดต้องมีอยู่ในอาณาจักรของ Plato ตลอดกาล! พวกมันอยู่ทั้งหมดตั้งแต่เริ่ม Big Bang!

กลุ่มสำคัญอันดับสองคือกลุ่ม formalists สำหรับพวกเขาคณิตศาสตร์คือเกมเชิงรูปแบบที่เริ่มจากสตริงของสัญลักษณ์นามธรรมแล้วทำการเปลี่ยนแปลงเชิงรูปแบบที่อนุญาตได้ คล้ายกับที่คุณทำเมื่อแก้สมการ พวกเขามองว่าคณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นเกมเชิงกลไก โดยห้ามตีความความหมายของสัญลักษณ์ มิฉะนั้นคนจะทำผิดพลาดแบบมนุษย์มากเกินไป ผู้ที่สนับสนุนแนวนี้ได้แก่ Hilbert แนวทางนี้เป็นที่นิยมในกลุ่มปัญญาประดิษฐ์ เพราะนั่นคือสิ่งที่เครื่องจักรทำ อย่างยอดเยี่ยม!

Figure 23.3—“พิสูจน์” ว่าสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ isosceles

อาจจะมีหลักฐานหนึ่งที่เป็นที่รู้จักดี โดยใช้เรขาคณิตยูคลิดคลาสสิก ว่าสามเหลี่ยมทุกรูปเป็น isosceles ซึ่งอาจเกิดราวปลายยุคกลาง (แม้ผมไม่เคยพบว่ามันถูกค้นพบเมื่อไหร่แน่) คุณเริ่มจากสามเหลี่ยม ABC (Figure 23.3) แล้วสองเท่ามุมที่ B และสร้างเส้นตั้งฉากที่ครึ่งของด้านตรงข้ามที่จุด D เส้นทั้งสองนี้ตัดกันที่จุด E เมื่อหมุนรอบจุด E คุณสร้างสามเหลี่ยมเล็ก ๆ ซึ่งด้านหรือมุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน และสุดท้ายพิสูจน์ได้ว่าสองด้านของมุมที่ถูกผ่ามีขนาดเท่ากัน! แน่นอนว่าการพิสูจน์นี้ผิด แต่มันเป็นสไตล์ที่นักเรขาคณิตยูคลิดคลาสสิกใช้ ดังนั้นชัดเจนว่ามีบางอย่างผิดพลาดโดยพื้นฐาน (สังเกตว่าเฉพาะโดยการใช้เหตุผลเมตาคณิตศาสตร์เท่านั้นเราจึงตัดสินได้ว่าการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ครั้งนี้นำไปสู่ข้อสรุปที่ผิด)

สรุป: To show where the false reasoning of this result arose (and also other possible false results), Hilbert examined what Euclid had omitted to talk about, both betweeness and intersections. Thus Hilbert could show the indicated intersection of the two bisectors met outside the triangle, not inside as the drawing indicated. In doing this he added many more postulates than Euclid had originally given!

ผมเป็นนักศึกษาบัณฑิตทางคณิตศาสตร์เมื่อความจริงข้อนี้เข้ามาสู่ความสนใจของผม ผมอ่านเรื่องนี้บ้าง แล้วก็คิดมากขึ้น มีทฤษฎีใน Euclid ประมาณ 467 ข้อ แต่ไม่มีทฤษฎีใดจากเหล่านั้นที่ผิดหลังจาก Hilbert เพิ่มสันนิษฐาน! แต่ทุกทฤษฎีที่ต้องการสันนิษฐานใหม่ไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเคร่งครัดโดย Euclid! ทุกทฤษฎีที่ตามมาและพึ่งพาทฤษฎีดังกล่าว ก็ไม่ได้รับการ “พิสูจน์” โดย Euclid แต่ผลลัพธ์ในระบบที่ปรับปรุงแล้วก็ยังเหมือนกับผลลัพธ์ที่ Euclid ถือว่าถูกต้อง จะเป็นไปได้อย่างไร? Euclid แม้ไม่ได้นำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีส่วนใหญ่จริงจัง แต่กลับไม่ทำผิดพลาดเลย เหมือนโชคช่วยหรือ?

มันชัดเจนกับผมว่าหนึ่งในเหตุผลที่ไม่มีทฤษฎีใดเป็นเท็จก็คือ Hilbert “รู้” ว่าทฤษฎียูคลิดถูกต้อง และเขาเลือกสันนิษฐานเพิ่มเติมให้สอดคล้องกับความจริงนั้น แต่ผมก็คิดไม่นานนักว่า Euclid ก็อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน Euclid รู้ “ความจริง” ของทฤษฎีพีทาโกรัส และทฤษฎีอื่น ๆ มากมาย และต้องหาวิธีตั้งสันนิษฐานที่ทำให้เขาได้ผลลัพธ์ที่เขารู้อยู่แล้ว Euclid ไม่ใช่คนวางสันนิษฐานแล้วค่อยสรุปตามวิธีที่มักสอนกัน เขาพยายามย้อนกลับจากผลลัพธ์ที่ “รู้” ไปหาสันนิษฐานที่เขาต้องการ!

จะย่อความโดยยกคำกล่าวของ Hilbert ว่า “When rigor enters, meaning departs.” นักศึกษา formalist กล่าวว่าไม่มี “ความหมาย” ในคณิตศาสตร์ — แต่ถ้าเป็นเช่นนั้น ทำไมสังคมถึงสนับสนุนคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์? ทำไมคณิตศาสตร์ถึงมีประโยชน์มาก? หากไม่มีความหมายใด ๆ จริง ๆ ในคณิตศาสตร์ แล้วทำไมสันนิษฐานและคำนิยามในเวลาต่อมาถึงถูกเปลี่ยนแปลง? formalists อธิบายไม่ได้ว่าทำไมคณิตศาสตร์มีความหมายมากกว่าเกมว่าง ๆ เช่นการเล่นหมากรุก

ใกล้เคียงกับ formalists คือกลุ่ม logical school ที่พยายามลดคณิตศาสตร์ทั้งหมดให้เป็นสาขาหนึ่งของตรรกะ พวกเขา อย่างเช่นกลุ่มอื่น ๆ ก็ไม่สามารถทำโครงการนี้ได้ — และสำหรับพวกเขามันยิ่งเจ็บปวดกว่ากลุ่มอื่น เพราะพวกเขาถือว่าตนเองเป็นนักตรรกะ! ความพยายามของ Whitehead และ Russell ในสามเล่มหนาพบว่ามักถูกทอดทิ้ง แม้จะมีส่วนที่ยังถูกใช้ก็ตาม เพื่อยกคำกล่าวจาก Russell:

สรุป: > Pure mathematics consists entirely of assertions to the effect that, if such and such a proposition is true of anything, then such and such another proposition is true of that thing. It is essential not to discuss whether the first proposition is really true, and not to mention what the thing is, of which it is supposed to be true.

ที่นี่คุณเห็นการผสมระหว่างกลุ่มตรรกะกับ formalists และความแห้งแล้งของมุมมองของพวกเขา นักตรรกะล้มเหลวในการโน้มน้าวคนว่าทางของพวกเขาไม่ใช่การออกกำลังกายเชิงตรรกะว่าง ๆ ผมจะแนะนำอย่างแรงว่าที่มักเรียกว่า foundations of mathematics เป็นเพียง "penthouse" ตัวอย่างง่าย ๆ คือผมพูดมาหลายปีแล้วว่า ถ้าคุณเข้ามาในสำนักงานผมแล้วบอกผมว่า Cauchy’s theorem ผิด หมายความว่าไม่สามารถอนุมานจากสมมติฐานปกติได้ ผมก็สนใจแน่นอน แต่ในระยะยาวผมจะบอกให้คุณกลับไปหา set ของสมมติฐานใหม่ — ผม รู้ ว่า Cauchy’s theorem “จริง” ดังนั้นสำหรับผมอย่างน้อย คณิตศาสตร์ไม่ได้สืบเนื่องเพียงจากสมมติฐาน แต่บ่อยครั้งสมมติฐานตามหลังทฤษฎีที่เรา “เชื่อว่าเป็นจริง” ผมมักจะจัดกลุ่ม formalists และ logicians ไว้ด้วยกัน

ชัดเจนว่าคณิตศาสตร์ไม่ใช่การกำหนดสันนิษฐานแล้วจึงอนุมานอย่างเคร่งครัดตามที่ formalists กล่าวจริง ๆ นักศึกษาบัณฑิตเกือบทุกคนมีประสบการณ์ว่าต้อง “ซ่อมแซม” พิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ก่อนหน้า แต่ทฤษฎีก็ยังไม่เปลี่ยนมากนัก แม้นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่เหล่านั้นไม่ได้พิสูจน์อย่างครบถ้วนตามมาตรฐานปัจจุบัน จริงอยู่ (แต่ไม่ค่อยถูกกล่าวถึงว่า) นิยามในคณิตศาสตร์มักจะ “เลื่อนไหล” และเปลี่ยนไปตามกาลเวลา ดังนั้นการพิสูจน์เดิมอาจไม่ตรงกับข้อความของทฤษฎีที่เราเข้าใจในปัจจุบัน

สรุป: The fourth school is the intuitionists, who boldly face this dilemma and ignore rigor. If you want absolute rigor then, since we have had a rising standard of rigor, presumably no presently proved theorem is really “proved”; rather the future will have to patch up our results, meaning we will not have “proved” anything! I suppose, if you want my position, I am partly an intuitionist. The above example about Cauchy’s theorem illustrates my attitude that mathematics shall do what I want it to do. Contrary to Hermite (1822–1901), who said, “We are not the master but the servant of mathematics,” I tend to believe (some of the time) we are the master. The postulates of mathematics were not on the stone tablets Moses brought down from Mount Sinai; they are human-made and hence subject to human changes as we please. Neither my view given above nor Hermite’s is exactly correct; the truth is a blend of them—we are both the master and the servant of mathematics.

ธรรมชาติของภาษาของเรามักบังคับให้เราคิดแบบ "ใช่/ไม่ใช่"; สิ่งใดหรือไม่สิ่งใด คุณมีหรือไม่มีการพิสูจน์ แต่เมื่อเรายอมรับว่ามาตรฐานความเข้มงวดเปลี่ยนไป เราต้องยอมรับว่าพิสูจน์บางอย่างน่าเชื่อถือมากกว่าพิสูจน์อื่น ๆ ถ้าคุณมองการพิสูจน์เป็นสเกลเหมือนความน่าจะเป็น จาก 0 ถึง 1 พิสูจน์ทั้งหมดจะอยู่ในช่วงนั้นและอาจไม่เคยถึง 1 ความแน่นอน

ลัทธิสุดท้ายคือ constructivists พวกเขายืนยันว่าต้องให้วิธีการก่อสร้างที่ชัดเจนสำหรับทุกสิ่งที่พูดถึง และไม่ดำเนินการแบบ formalists ที่บอกว่า ถ้าชุดสันนิษฐานไม่พิสูจน์ว่าไม่สอดคล้องกัน วัตถุที่สันนิษฐานกำหนดไว้ “มีอยู่” วิธีการของ constructivists อาจทำให้คุณติดปัญหามาก ไม่มีพื้นฐานเข้มงวดจริง ๆ สำหรับคณิตศาสตร์ตามแนวทางของทั้งสี่กลุ่มอื่น ๆ แต่ constructivists เข้มงวดเกินไปสำหรับรสนิยมของหลายคน เพราะพวกเขาจะตัดสิ่งที่เราเห็นว่ามีคุณค่าทางปฏิบัติออกไปมาก นักวิทยาการคอมพิวเตอร์ (ไม่นับพวก ai) มักจะอยู่ในกลุ่ม constructivist ถ้าพวกเขาคิดเรื่องนี้จริง ๆ

แนวคิดของนักวิเคราะห์เชิงตัวเลขบางคนคือระบบจำนวนจริงที่แท้จริงคือรูปแบบบิตในคอมพิวเตอร์ — พวกเขาบอกว่านั่นคือความเป็นจริงที่แท้จริง และระบบจำนวนที่จินตนาการโดยนักคณิตศาสตร์เป็นเพียงจินตนาการ ผู้ใช้คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้มันเป็นเครื่องมือ และไม่ได้ใส่ใจปรัชญาพื้นฐานมากนัก

มีกลุ่มคนในวงการซอฟต์แวร์ที่เชื่อว่าเราควร “พิสูจน์ว่าโปรแกรมถูกต้อง” เหมือนกับที่เราพิสูจน์ทฤษฎีในคณิตศาสตร์ ข้อผิดพลาดสองประการที่พวกเขาทำคือ:

  1. เราไม่ได้ "พิสูจน์" ทฤษฎีจริง ๆ!
  2. ปัญหาการเขียนโปรแกรมที่สำคัญหลายเรื่องไม่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจนพอที่จะให้มีการพิสูจน์; แทนที่ ปัญหาที่เกิดขึ้นมักจะถูกกำหนดโดยโปรแกรมที่ออกมา!

นั่นไม่ได้หมายความว่าแนวทางของพวกเขาไม่มีคุณค่า เพียงแต่มักจะมีการพองเกินจริงเกี่ยวกับข้อเรียกร้องของพวกเขา

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ยึดถือแนวทางพลาโตเมื่อทำงานประจำวัน แต่เมื่อถูกขอให้อภิปรายอย่างชัดเจนว่าพวกเขาทำอะไร พวกเขามักจะหลบไปสู่มุมมอง formalist และกล่าวว่าคณิตศาสตร์เป็นเกมว่าง ๆ ที่สัญลักษณ์ไม่มีความหมาย (ไม่ใช่ว่าพวกเขาเชื่อเช่นนั้นจริง ๆ แต่เป็นตำแหน่งที่รับมือได้) พวกเขาเสแสร้งว่าพวกเขาเชื่อคำกล่าวจาก Russell ด้านบน

อย่างที่คุณรู้จากคอร์สคณิตศาสตร์ เมื่อมองในระดับปรัชญา สิ่งที่คุณทำจริง ๆ แทบไม่เคยถูกพูดถึง อาจารย์มักยุ่งกับรายละเอียดของคณิตศาสตร์จนไม่มีเวลาอภิปรายว่าพวกเขากำลังทำอะไร — พฤติกรรมแบบช่างเทคนิคทั่วไป!

อย่างไรก็ตาม ตามที่คุณทราบ คณิตศาสตร์มีประโยชน์อย่างยิ่งในโลกนี้ และเรามักใช้มันโดยไม่คิดมาก ดังนั้นเราจึงต้องการการสนทนาเกี่ยวกับพื้นหลังที่คุณใช้โดยไม่คำนึงถึงปรัชญา

ชาวกรีกโบราณเชื่อว่าคณิตศาสตร์คือ “ความจริง” ในจิตใจของพวกเขามีน้อยหรือไม่มีความสงสัยในเรื่องนี้ อะไรจะมั่นคงกว่าการที่ 1 + 1 = 2? แต่ให้จำไว้เมื่อเราพูดถึงรหัสแก้ความผิดพลาด เรากล่าวว่า 1 + 1 = 0 การใช้สัญลักษณ์เดียวกันในบริบทต่างกัน (คุณอาจโต้แย้งว่าสัญลักษณ์ 1 ในสองกรณีไม่ใช่สิ่งเดียวกัน) ขัดกับการใช้ตรรกะ เมื่อเรพิจารณาเรขาคณิตไม่ใช่ยูคลิด นักคณิตศาสตร์เผชิญหน้ากับความเป็นไปได้ว่ามีระบบคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ซึ่งใช้คำเดียวกัน เช่น จุด เส้น และระนาบ แต่ความหมายที่ผูกกับคำเหล่านั้นอาจต่างกัน สิ่งนี้ไม่แปลกสำหรับคุณ เมื่อคุณมาเรียนเรื่องแรงในกลศาสตร์และการบวกแรง คุณต้องรับรู้ว่าการบวกสเกลาร์ไม่เหมาะกับการบวกเวกเตอร์ และคำว่า “งาน” ในฟิสิกส์ก็ไม่ใช่ความหมายเดียวกับที่เราใช้ในชีวิตประจำวัน

ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์ที่คุณเลือกใช้ต้องมาจากสาขาของการประยุกต์ใช้งาน; คณิตศาสตร์ไม่ใช่สากลและไม่ใช่ “ความจริง” แล้วเราจะเลือกคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมสำหรับการประยุกต์แต่ละแบบอย่างไร? ความหมายของสัญลักษณ์ในตัวมันเองคืออะไร? การวิเคราะห์อย่างรอบคอบบอกว่าความหมายของสัญลักษณ์เกิดจากวิธีที่มันถูกใช้ ไม่ใช่จากคำนิยามดังที่ Euclid — และคุณ — เคยคิดเมื่อเขานิยามจุด เส้น และระนาบ ตอนนี้เรารู้ว่าคำนิยามของเขามีความหมุนวนและไม่ได้กำหนดอย่างแน่นอน ความหมายต้องมาจากความสัมพันธ์ระหว่างสัญลักษณ์ มันเหมือนกับภาษาเชิงตีความที่ผมสรุปในบทที่ 4: ความหมายของคำสั่งอยู่ในซับรูทีนที่มันเรียก — วิธีที่สัญลักษณ์ถูกประมวลผล — ไม่ใช่ชื่อเอง ในตัวมันเอง เครื่องหมายเป็นเพียงสตริงของบิตและไม่สามารถมีความหมายได้ นอกจากวิธีที่มันถูกใช้

นักคณิตศาสตร์ Dodgson (Lewis Carroll) ผู้เขียน Alice in Wonderland และ Through the Looking Glass เชี่ยวชาญด้านตรรกะ และหนังสือทั้งสองเล่มแสดงให้เห็นอย่างกว้างขวางว่าความหมายอยู่ที่การใช้ ดังนั้น Humpty Dumpty ยืนยันว่าเมื่อเขาใช้คำ คำนั้นหมายถึงสิ่งที่เขาต้องการไม่น้อยหรือมากไปกว่า Alice รู้สึกว่าคำมีความหมายอิสระจากการใช้งานและไม่ควรถูกใช้โดยพลการ

ตอนนี้ควรชัดเจนแล้วว่าสัญลักษณ์มีความหมายตามที่เราเลือกให้ พวกคุณคงคุ้นเคยกับภาษาธรรมชาติที่ต่างกันซึ่งใช้คำต่างกันเพื่อละคนเดียวกัน กลับมาที่ Plato: เก้าอี้คืออะไร? มันเป็นแนวคิดเดียวเสมอหรือเนื่องจากบริบท? ที่ปาร์ตี้ปิกนิกหินอาจเป็นเก้าอี้ได้ แต่คุณไม่คาดหวังให้ใช้หินเป็นเก้าอี้ในห้องนั่งเล่นของใครบางคน และคุณเห็นว่าพจนานุกรมใด ๆ ต้องมีความหมุนวน; คำแรกที่คุณค้นหาต้องถูกนิยามโดยคำอื่นๆ — ไม่มีการนิยามแรกที่ไม่ใช้คำอื่น

คุณอาจสงสัยว่าทารกเรียนรู้ภาษาได้อย่างไร การเรียนรู้ภาษาที่สองเมื่อคุณมีภาษาหนึ่งแล้วเป็นเรื่องหนึ่ง แต่การเรียนรู้ภาษาแรกเป็นเรื่องต่างออกไป — ไม่มีที่อ้างอิงแรกเพื่อหาความหมาย คุณจะทำบางอย่างด้วยท่าทางสำหรับคำนามและคำกริยา แต่หลายคำไม่สามารถชี้บอกได้ เมื่อผมชี้ไปที่ม้าแล้วพูดคำว่า “horse” ผมกำลังบ่งบอกชื่อของม้าตัวนั้น ชื่อนามทั่วไปของม้า กลุ่มสัตว์สี่ขา หรือสีของม้า? คนฟังจะรู้ได้อย่างไรว่าความหมายไหนที่ต้องการ ในความเป็นจริง เด็กเรียนรู้ที่จะแยกความหมายระหว่างม้าที่เฉพาะเจาะจงกับประเภทของม้าที่เป็นนามธรรมมากขึ้นได้อย่างไร?

ดูเหมือนว่าความหมายเกิดจากการใช้ ไม่ใช่จากนิยามตายตัว เมื่อเร็ว ๆ นี้พจนานุกรมฉบับหนึ่งยอมรับว่าพวกเขาไม่สามารถกำหนดการใช้ได้ พวกเขาเพียงบอกว่าคำถูกใช้กันอย่างไร—พวกเขาต้องเป็น “เชิงพรรณนา” ไม่ใช่ “เชิงบัญญัติ” ความจริงที่ไม่มีความหมายแน่นอนสำหรับทุกคำทำให้หลายคนโกรธ เช่น นักวิจารณ์หนังสือของ New Yorker และนักสืบสมมติ Nero Wolfe ต่างไม่พอใจต่อพจนานุกรมฉบับนั้น

เราจึงเห็นว่าทั้งหมดนี้ “ความจริง” ที่คิดว่าจะอยู่ในคณิตศาสตร์เป็นภาพลวงตา มันเป็นข้อตกลงทางมนุษย์และเงื่อนไขทั้งหมด

แต่เราต้องเผชิญกับเรื่อง unreasonable effectiveness of mathematics. หลังจากกล่าวว่าไม่มี "ความจริง" หรือ "ความหมาย" ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ผมต้องอธิบายว่าทำไมคณิตศาสตร์ยังใช้ได้และมีบทบาทมากขึ้นในสังคมของเรา โดยเฉพาะในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม เราได้ผ่านจากความเชื่อที่คณิตศาสตร์เป็นความจริงแน่นอน ไปสู่สถานะที่เห็นว่าไม่มีความหมายในสัญลักษณ์เลย — แต่เรายังใช้มันอยู่! เราใส่ความหมายในสัญลักษณ์เมื่อแปลงสมมติฐานของปัญหาเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และอีกครั้งเมื่อเราแปลผลลัพธ์ ดังนั้นเราสามารถใช้สูตรเดียวกันในหลายสถานการณ์ได้ คณิตศาสตร์จึงเป็นเครื่องมือทางปัญญาสากลสำหรับการคิดอย่างชัดเจน

พาราดอกซ์พื้นฐานของชีวิตที่ Einstein กล่าวคือ ดูเหมือนว่าโลกถูกสร้างขึ้นด้วยตรรกะ นี่เป็นสิ่งที่น่าอัศจรรย์ที่สุด — โลกสามารถเข้าใจได้ทางตรรกะและคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามผมเตือนว่าการค้นพบล่าสุดในฟิสิกส์พื้นฐานทำให้คำกล่าวของเขาน่าสงสัย และเรื่องนี้จะถูกกล่าวถึงในบทต่อไป

ถ้าคำกล่าวของ Einstein เป็นจริง ปัญหาของการนำคณิตศาสตร์ไปใช้คือการรู้จักความคล้ายกันระหว่างโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการและส่วนที่สอดคล้องกันของ “ความจริง” ตัวอย่างเช่น ในรหัสแก้ความผิดพลาด ผมต้องเห็นว่าถ้าสัญลักษณ์ของรหัสใช้ 0 และ 1 เป็นสัญลักษณ์พื้นฐาน และใช้ 1 เพื่อบอกตำแหน่งของข้อผิดพลาด (ข้อผิดพลาดเป็นสตริงของ 0 ที่มี 1 หนึ่งตัวในตำแหน่งผิดพลาด) แล้วผมสามารถ “บวก” สตริงได้ก็ต่อเมื่อผมเลือกให้ $1 + 1 = 0$ เป็นระบบเลขพื้นฐาน ข้อผิดพลาดสองครั้งต่อเนื่องที่ตำแหน่งเดียวกันเท่ากับไม่มีข้อผิดพลาด ผมต้องเห็นความคล้ายกันระหว่างส่วนของปัญหาและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ผมแทบไม่เข้าใจตอนแรก

ดังนั้นส่วนหนึ่งของประสิทธิผลของคณิตศาสตร์เกิดจากการรับรู้ความคล้ายกัน และเท่านั้นที่ความคล้ายกันกว้างและแม่นยำพอเท่านั้นเราจึงใช้คณิตศาสตร์ในการทำนายสิ่งที่จะเกิดขึ้นในโลกจริงจากการจัดการสัญลักษณ์บนโต๊ะทำงานของเรา

คุณได้รับการสอนให้รู้จักการจับคู่โมเดลทางคณิตศาสตร์กับส่วนของความจริงเป็นจำนวนมาก แต่ผมสงสัยว่ามันจะครอบคลุมการพัฒนาที่จะเกิดขึ้นในอนาคต มากกว่านั้น เมื่อเราต้องการทำสิ่งใหม่ ๆ ที่เป็นไปได้เพราะความก้าวหน้าทางเทคนิค — รวมทั้งการเข้าใจตัวเราเองดีขึ้น — เราจะต้องการโมเดลทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกมาก

ผมขอเสนอโดยไม่มีหลักฐานว่าในอดีตเราได้พบการประยุกต์ที่ง่ายของคณิตศาสตร์ สถานการณ์ที่มีความสอดคล้องใกล้ชิดระหว่างโครงสร้างคณิตศาสตร์และส่วนที่ถูกจำลอง และในอนาคตเราจะต้องพอใจกับความคล้ายที่ด้อยกว่า ระยะยาว ผมเชื่อว่าเราจะต้องการโมเดลทางคณิตศาสตร์ที่ผลรวมของส่วนอาจมากกว่าส่วนรวม เนื่องจาก “ซินเนอร์จี้” ระหว่างส่วนต่าง ๆ พวกคุณคงคุ้นว่าจุดที่องค์กรของคุณมากกว่าแค่ผลรวมของบุคคล — มีขวัญกำลังใจ การควบคุม นิสัย ประเพณี ประวัติศาสตร์ ฯลฯ ที่แยกออกจากแต่ละบุคคลไม่ได้ชี้ชัด แต่ถ้าคณิตศาสตร์คือการคิดอย่างชัดเจน ตามที่ผมกล่าวไว้ข้างต้น คณิตศาสตร์จะต้องช่วยแก้ปัญหาเหล่านี้ในอนาคต หรือพูดอีกอย่าง ถ้าคุณคิดอย่างชัดเจน โดยเฉพาะเมื่อใช้สัญลักษณ์ นั่นก็คือคณิตศาสตร์!

ผมอยากปิดท้ายด้วยความคิดที่ยิ่งกว่านั้น มันไม่ชัดเจน — แม้ว่าหลายคนตั้งแต่กรีกโบราณจะปฏิบัติเหมือนว่ามันเป็นจริง — ว่าสิ่งใด ๆ ก็ตามสามารถถูกใส่ลงในคำพูดได้ คุณสามารถพูดถึงอะไรก็ได้: เทพเจ้า ความจริง ความงาม และความยุติธรรม แต่ถ้าคุณพิจารณาในคอนเสิร์ตดนตรี มันชัดเจนว่าสิ่งที่ส่งถึงผู้ฟังไม่สามารถใส่เป็นคำพูดได้จริง ๆ — ถ้ามันทำได้ นักประพันธ์และนักดนตรีคงใช้คำพูดแล้ว ทุกนักวิจารณ์ดนตรีที่ว่าอย่างไร สิ่งที่ดนตรีสื่อไม่สามารถ (ดูเหมือน) ใส่เป็นคำได้เช่นเดียวกัน สำหรับจิตรกรรมก็เช่นกัน แต่ในระดับที่น้อยกว่า บทกวีเป็นพื้นที่ที่ใช้คำ แต่เนื้อหาจริง ๆ ของบทกวีอาจไม่อยู่ในคำพูด

ในทำนองเดียวกัน สิ่งสามประการของกรีซโบราณ truth, beauty, and justice แม้คุณคิดว่าคุณรู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่ดูเหมือนจะไม่สามารถใส่ในคำพูดได้ ตั้งแต่สมัย Hammurabi ความพยายามใส่ความยุติธรรมลงในคำพูดผลิตเป็นกฎหมาย และบ่อยครั้งกฎหมายไม่ใช่ความยุติธรรมที่คุณคิด มีคำถามในคัมภีร์ไบเบิลว่า “What is truth?” และใครล่ะจะกล้าตัดสิน “ความงาม”?

ดังนั้นผมได้ข้ามขอบเขตของทฤษฎีของ Gödel ซึ่งกล่าวโดยหยาบว่า ถ้าคุณมีระบบของสัญลักษณ์ที่ค่อนข้างมั่งคั่ง (ทฤษฎีไม่ได้พูดถึงคณิตศาสตร์ตามนิยามที่มักเข้าใจกัน) จะมีประพจน์บางอย่างที่ความจริงหรือเท็จไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในระบบนั้น ผลก็คือถ้าคุณเพิ่มสมมติฐานใหม่เพื่อแก้ปัญหาทฤษฎีเหล่านั้น จะมีทฤษฎีใหม่ที่คุณไม่สามารถแก้ไขได้ภายในระบบที่ขยายขึ้น นี่แสดงขอบเขตชัดเจนของสิ่งที่ระบบสัญลักษณ์แบบดิสริต (discrete) สามารถทำได้

ภาษาดูเหมือนเป็นระบบสัญลักษณ์แบบดิสริตเมื่อมองผิวเผิน แต่เมื่อพิจารณาให้ละเอียด Gödel ตั้งเงื่อนไขกับชุดสัญลักษณ์ที่มีความหมายคงที่ (แม้บางอาจขึ้นกับบริบท) แต่ตามที่คุณรู้ คำมีหลายความหมายและระดับของความหมาย เช่น คำว่า “tall” ในตึกสูง คนสูง หรือเรื่องเล่าโอเวอร์ มีความหมายไม่ตรงกัน น้ำเสียงการพูด ยกคิ้ว การขยิบตา หรือรอยยิ้มสามารถเปลี่ยนความหมายของคำได้ ดังนั้นภาษาตามการใช้งานจริงจึงไม่เข้ากับสมมติฐานของ Gödel และอาจเป็นเหตุผลที่ภาษามีคุณสมบัติต่าง ๆ ในชีวิตจริง เรารู้เรื่องวิวัฒนาการของภาษาและแรงคัดเลือกที่ทำให้รูปแบบหนึ่งอยู่รอดยิ่งน้อย จึงได้แต่เดา

คอมพิวเตอร์มาตรฐานในปัจจุบันสามารถจัดการสัญลักษณ์แบบดิสริตได้ (แม้ว่าเครือข่ายประสาทบางแบบอาจจัดการสิ่งที่ต่างออกไป) ดังนั้นดูเหมือนว่าจะมีหลายสิ่งที่คอมพิวเตอร์ไม่สามารถจัดการได้ ตามที่ได้กล่าวไว้ในบท 19 ถ้าคุณสมมติว่าเครือข่ายประสาทมีแบนด์วิดท์ที่ใช้งานได้จำกัด ทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างจะให้ความเท่าเทียมของแบนด์วิดท์และอัตราการสุ่มตัวอย่าง

ผมคิดว่าในอดีตเราได้ทำปัญหาที่ง่าย ๆ ไปแล้ว และในอนาคตเราจะเผชิญปัญหาที่หลงเหลือซึ่งต้องการวิธีคิดและแนวทางใหม่ ปัญหาเหล่านี้จะไม่หายไป — ดังนั้นคุณจะต้องรับมือกับมัน — และผมแนะนำว่าคุณอาจต้องคิดค้นคณิตศาสตร์ใหม่เพื่อจัดการกับมัน อนาคตของคุณน่าจะน่าตื่นเต้นถ้าคุณตอบสนองต่อความท้าทายเหล่านี้ด้วยวิธีใหม่ ๆ ตามสมควร แน่นอนว่ายังมีสิ่งให้ค้นพบในอนาคตมากกว่าสิ่งที่ค้นพบในอดีตทั้งหมด!