ตอนนี้เราจะมาดู recursive filters (ฟิลเตอร์แบบรีเคอร์ซีฟ) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

สรุป: From this formula it will be seen we have values on only one side of the current value n, and we use both old and current signal values, _u_n, and old values of the outputs, _y_n. This is classical, and arises because we are often processing a signal in real time and do not have access to future values of the signal.

แต่เมื่อพิจารณาจากหลักการพื้นฐาน เราจะเห็นว่า หากเรามีค่าใน "อนาคต" การทำนายแบบสองด้าน (two-sided prediction) น่าจะให้ความแม่นยำมากกว่า ในการคำนวณค่า y_n เราก็จะต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกันหลายสมการ—ซึ่งไม่ใช่เรื่องที่น่ากลัวในยุคที่การคำนวณถูกลงเช่นปัจจุบัน เราจะวางข้อสังเกตนี้ไว้เพียงเท่านั้น โดยสังเกตว่าปัจจุบันเรามักบันทึกสัญญาณลงเทปหรือสื่ออื่น แล้วนำมาประมวลผลในแล็บภายหลัง ดังนั้นข้อมูลอนาคตก็พร้อมใช้งานแล้ว อีกตัวอย่างเช่น ในการประมวลผลภาพ การใช้ฟิลเตอร์ดิจิทัลรีเคอร์ซีฟที่ใช้ข้อมูลจากด้านเดียวของจุดที่กำลังประมวลผลจะเป็นการเสียโอกาสเพราะจะไม่ใช้ข้อมูลที่เกี่ยวข้องบางส่วนที่มีอยู่

ต่อไปเราจะเห็นว่าการนำผลลัพธ์เก่ากลับมาใช้เป็นอินพุตใหม่หมายความว่าเรามีวงป้อนกลับ (feedback)—และสิ่งนี้ย่อมเกี่ยวข้องกับคำถามเรื่อง stability. นี่เป็นเงื่อนไขที่เราต้องคอยสังเกตอยู่เสมอเมื่อออกแบบฟิลเตอร์รีเคอร์ซีฟ เพราะมันจะจำกัดสิ่งที่เราทำได้ ความหมายของความเสถียรที่นี่คือผลจากเงื่อนไขเริ่มต้นจะไม่กลายเป็นสิ่งที่ครอบงำผลลัพธ์

เมื่อเป็นระบบเชิงเส้น เราจะเห็นว่าความถี่บริสุทธิ์ใด ๆ ที่ป้อนเข้าไปในฟิลเตอร์ในสภาวะนิ่ง (steady state) จะมีเพียงความถี่นั้นเท่านั้นที่จะออกมา แม้ว่ามันอาจถูกเลื่อนเฟสได้ อย่างไรก็ดี ช่วงทรานเชียน (transients) อาจมีความถี่อื่น ๆ ซึ่งเกิดจากการแก้สมการเชิงต่าง (homogeneous difference equation) ความจริงก็คือ เรากำลังแก้สมการเชิงต่างที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ โดยมีคำว่า u_n เป็นฟังก์ชันที่ออกแรง (forcing function)—นั่นแหละคือสิ่งที่ฟิลเตอร์รีเคอร์ซีฟเป็นอย่างแท้จริง และไม่มีอะไรอื่น

ดังนั้นเราจึงตั้งสมมติฐานสำหรับสภาวะนิ่ง (ซึ่งไม่สนใจทรานเชียน)

(โดยที่ A_s อาจเป็นเชิงซ้อนเพื่ออนุญาตการเลื่อนเฟส) และจากการแก้หาส่วนของ A_O/_A_I จะได้ฟังก์ชันการถ่ายโอน (transfer function)

สรุป: This is a rational function in the complex variable eiωt = z rather than, as before with nonrecursive filters, a polynomial in z. There is a theory of Fourier series representations of functions; there is not as yet a theory of the representation of a function as the ratio of two Fourier series (though I see no reason why there cannot be such a theory). Hence the design methods are at present not systematic (as Kaiser did for the nonrecursive filter design theory), but rather a collection of trick methods. Thus we have Butterworth, two types of Chebyshev (depending on having the equal ripples in the pass or the stop band), and elliptic filters (whose name comes from the fact that elliptic functions are used), which have equal ripples.

ผมจะพูดเพียงเรื่องของวงป้อนกลับ (feedback) เท่านั้น เพื่อให้ปัญหาวงป้อนกลับเห็นภาพได้ชัด ผมจะเล่าเรื่องเกี่ยวกับตัวผมเอง สมัยหนึ่งเมื่อหลายปีก่อน ผมเป็นพิธีกรรายการโทรทัศน์ชุดหกตอน ตอนละครึ่งชั่วโมงเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์และการประมวลผล ส่วนใหญ่ถ่ายทำในซานฟรานซิสโก ผมมักอยู่ที่นั่นบ่อย ๆ และเกิดนิสัยว่าจะพักเสมอในห้องเดิมของโรงแรมเดิม—การคุ้นเคยกับรายละเอียดของห้องช่วยได้เวลาที่คุณเหนื่อยตอนกลางคืนหรือเมื่อต้องตื่นกลางดึก—ดังนั้นจึงอยากได้ห้องเดิม

สรุป: Figure 17.1—Water temperature in the shower

ก็เป็นอย่างนี้ ช่างประปาใส่ท่อขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่ไว้ในฝักบัว Figure 17.1 ผลลัพธ์คือ ในเช้าวันหนึ่งเมื่อผมเริ่มอาบน้ำ มันยังเย็นเกินไป ผมก็หมุนปุ่มน้ำอุ่นมากขึ้น แต่ยังเย็น ก็หมุนอีก และอีกครั้ง; แล้วพอได้อุณหภูมิที่เหมาะผมก็เข้าไป แต่แน่นอนว่ามันยิ่งร้อนขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อน้ำที่เปิดไว้ก่อนหน้านั้นเคลื่อนขึ้นมาถึงหัวฝักบัว และผมต้องออกแล้วลองปรับใหม่ ปัญหาคือ delay ในการที่น้ำอุ่นมาถึงผม แม้จะผ่านการเรียนรู้มามาก ผมก็ยังตกอยู่ในสภาวะการปรับหาจุดที่คลาสสิกของความไม่เสถียร (instability) คุณอาจมองว่าการตอบสนองของผมรุนแรงเกินไป (ผมทำรุนแรงเกินไป) หรือการตรวจจับสัญญาณล่าช้าเกินไป (ผมรีบเกินไปที่จะเข้าอ่าง) ผลลัพธ์ก็เหมือนกันในระยะยาว! ความไม่เสถียร! ผมไม่เคยยอมรับความล่าช้าใหญ่ ๆ ที่ต้องรับมือ ดังนั้นทุกเช้าจึงมีปัญหาเล็ก ๆ เป็นประจำ ในตัวอย่างเชิงภาพนี้คุณจะเห็นแก่นของความไม่เสถียร

ผมจะไม่ลงลึกถึงการออกแบบฟิลเตอร์ดิจิทัลรีเคอร์ซีฟที่นี่ เพียงจะบอกว่าโดยความเป็นจริงผมได้พัฒนาทฤษฎีนี้ขึ้นเองในการรับมือกับสูตร corrector สำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาเชิงตัวเลข รูปแบบของ corrector ในวิธี predictor-corrector คือ

สรุป: We see the _u_j of the recursive filter are now the derivatives _y'_n of the output and come from the differential equation. In the standard nonrecursive filter there are no feedback paths—the _y_n that are computed do not appear later in the right-hand side. In the differential equation formula they appear in this feedback path, and also through the derivative terms they form another, usually nonlinear, feedback path. Hence stability is a more difficult topic for differential equations than it is for recursive filters.

ฟิลเตอร์รีเคอร์ซีฟเหล่านี้มักถูกเรียกว่า “infinite impulse response filters” (iir) เพราะความรบกวนเพียงครั้งเดียวจะสะท้อนวนรอบวงป้อนกลับ ซึ่งแม้ว่าฟิลเตอร์จะเสถียรก็ตามก็จะค่อย ๆ ดับลงเหมือนลำดับเรขาคณิต แน่นอนว่าในฐานะคน ผมก็ถามตัวเองว่า ฟิลเตอร์รีเคอร์ซีฟทั้งหมด ต้องมีคุณสมบัตินี้หรือไม่ และก็พบตัวอย่างที่สวนทางได้ในไม่ช้า จริงอยู่ มันไม่ใช่ชนิดฟิลเตอร์ที่เราปกติออกแบบ แต่ก็ดูให้เห็นว่าคำกล่าวเหล่านั้นผิวเผิน หากคุณตั้งคำถามกับสิ่งที่ถูกสอนแก่คุณจริง ๆ จะเห็นว่ามีหลายสิ่งที่เป็นเท็จหรือกึ่งเท็จ แม้ในสาขาที่พัฒนามาอย่างดี

ในบทที่ 26 ผมจะหยิบปัญหาเรื่องการรับมือกับผู้เชี่ยวชาญมาอภิปราย ที่นี่เป็นตัวอย่างง่าย ๆ ของสิ่งที่เกิดขึ้นบ่อย ผู้เชี่ยวชาญมักถูกสอนบางอย่างตอนยังเป็นนักศึกษาครั้งแรก และตอนนั้นพวกเขาไม่ได้ตั้งคำถาม มันกลายเป็นข้อเท็จจริงที่ยอมรับได้ ซึ่งพวกเขาทวนซ้ำและแทบไม่ตรวจสอบว่าเมื่อเวลาผ่านไปสิ่งที่พูดนั้นยังถูกต้องหรือไม่ โดยเฉพาะในสถานการณ์ปัจจุบันของพวกเขา

ขอเล่าเรื่องอีกเรื่อง ผู้หญิงคนหนึ่งจากภาคคณิตศาสตร์ที่ Bell Telephone Laboratories กำลังเต้นสแควร์แดนซ์กับนักฟิสิกส์ในงานปาร์ตี้ และในเช้าวันจันทร์ที่ฮอลล์เธอพูดถึงปัญหาหนึ่งของเขากับผม โดยเขาวัดจำนวนการนับในการทดลองกัมมันตภาพรังสีที่แต่ละระดับพลังงาน ตามที่ผมจำได้มี 256 ระดับ เรียกว่า “spectrum of the process” ปัญหาของเขาคือต้องการผลลัพธ์ของการดิฟเฟอเรนเชียลข้อมูล (derivative) ของข้อมูลนั้น

สรุป: Well, you know: (a) the number of nuclear counts at a given energy is bound to produce a ragged curve, and (b) differentiating this to get the local slope is going to be a very difficult thing to do. The more I thought about her casual remark, the more I felt he needed real guidance—meaning me! I looked him up in the Bell Telephone Laboratories phone book and explained my interest and how I got it. He immediately wanted to come up to my office, but I was obdurate and insisted on meeting in his laboratory. He tried using his office, and I stuck to the lab. Why? Because I wanted to size up his abilities and decide if I thought his problem was worth my time and effort, since it promised to be a tough nut to crack. He passed the lab test with flying colors—he was clearly a very competent experimenter. He was at about the limit of what he could do—a week’s run to get the data and a lot of shielding was around the radioactive source, hence not much we could do to get better data. Furthermore, I was soon convinced, although I knew little about the details, that his experiment was important to physics as well as to Bell Telephone Laboratories. So I took on the problem. Moral: to the extent you can choose, work on problems you think will be important.

ชัดเจนว่านี่เป็นปัญหาการทำ smoothing และ Kaiser กำลังสอนผมถึงข้อเท็จจริง ดังนั้นจะมีอะไรดีไปกว่าการพา experimentalist ไปหาคายเซอร์ให้เขาออกแบบฟิลเตอร์ดิฟเฟอเรนเชียทที่เหมาะสม? ปัญหาก็เกิดขึ้นทันที! Kaiser มักคิดว่าสัญญาณเป็นฟังก์ชันของเวลา และพื้นที่ใต้โค้งยกกำลังสองเป็นพลังงาน แต่ที่นี่พลังงานกลับเป็นตัวแปรอิสระ! ผมมีปัญหากับ Kaiser เรื่องนี้ซ้ำ ๆ จนผมพูดตรง ๆ ว่า “ตกลง พลังงานของเขาเป็นเวลา และการวัด—จำนวนการนับ—คือแรงดัน” เท่านั้นคายเซอร์ถึงทำได้ คำสาปของผู้เชี่ยวชาญ ที่มีมุมมองจำกัดว่าพวกเขาทำอะไรได้ ผมเตือนคุณว่า Kaiser เป็นคนที่มีความสามารถมาก แต่ความเชี่ยวชาญของเขา อย่างที่มักเกิดกับผู้เชี่ยวชาญ มักจำกัดมุมมองของเขา แล้วคุณจะทำดีกว่าหรือไม่? ผมหวังว่าเรื่องราวเช่นนี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงกับดักนั้น

อย่างที่ผมสังเกตไว้ก่อนหน้านี้ โดยปกติสัญญาณจะอยู่ในส่วนล่างของช่วง Nyquist ของสเปกตรัม และสัญญาณรบกวนกระจายอยู่ทั่วช่วง Nyquist ดังนั้นเราจึงต้องหาจุดตัดระหว่างสัญญาณที่มีความหมายของนักฟิสิกส์กับสัญญาณรบกวนสีขาว จะหาจุดนั้นได้อย่างไร? ก่อนอื่นผมดึงเอาแบบจำลองเชิงทฤษฎีที่นักฟิสิกส์มีในหัวมา ซึ่งคือเส้นสเปกตรัมแคบจำนวนมากรูปแบบ Gaussian อยู่บนรูปแบบ Gaussian กว้าง (ผมสงสัยว่าอาจเป็นรูปแบบ Cauchy แต่ผมไม่เถียงกับเขาเพราะความต่างจะเล็กมากเมื่อเทียบกับข้อมูลที่เรามี) ดังนั้นเราจึงจำลองมัน และเขาสร้างข้อมูลสังเคราะห์จากแบบจำลอง การวิเคราะห์สเปกตรัมอย่างเร็ว (fft) แสดงให้เห็นว่าสัญญาณจำกัดอยู่ที่ 1/20 ส่วนล่างสุดของช่วง Nyquist ประการที่สอง เราประมวลผลชุดข้อมูลทดลองของเขาแล้วพบตำแหน่งเดียวกันสำหรับขอบ! โชคดีจริง ๆ! (บางทีความโชคดีควรถูก attributed ให้กับความยอดเยี่ยมของผู้ทดลอง) ครั้งหนึ่งทฤษฎีและปฏิบัติสอดคล้องกัน! เราจะสามารถกำจัดสัญญาณรบกวนได้ประมาณ 95%

Kaiser สุดท้ายจึงเขียนโปรแกรมให้เขา โปรแกรมนั้น (1) ออกแบบฟิลเตอร์ดิฟเฟอเรนเชียทที่สอดคล้อง (2) เขียนโปรแกรมเพื่อคำนวณเอาต์พุตที่ถูกทำให้เรียบ (smoothed output) และแล้ว (3) ประมวลผลข้อมูลผ่านฟิลเตอร์นี้โดยไม่ต้องมีการแทรกแซงจากนักฟิสิกส์

ผมต่อมาจับได้ว่านักฟิสิกส์กำลังปรับขอบตัดสำหรับส่วนต่าง ๆ ของข้อมูลพลังงานในรอบเดียวกัน และต้องเตือนเขาว่ายังมีสิ่งที่เรียกว่า "degrees of freedom" และสิ่งที่เขาทำไม่ใช่การประมวลผลข้อมูลที่ซื่อสัตย์ ผมมีปัญหามากขึ้นเมื่อทุกอย่างเริ่มดีขึ้นเพื่อชักชวนนักฟิสิกส์ให้ใช้รากที่สองของจำนวนการนับ (square roots of the counts) เพราะจะมีความแปรปรวนเท่ากัน แต่ท้ายที่สุดเขาก็เห็นด้วยและทำตาม เขาและ Kaiser เขียนบทความคลาสสิกในสาขานั้น เพราะมันเปิดทางให้กับสิ่งใหม่ ๆ ที่สามารถทำได้

ผมมีส่วนร่วมหลัก ๆ คือการระบุปัญหาให้ชัดเจน, ต่อมารวมคนที่เหมาะสมเข้าด้วยกัน, แล้วคอยติดตาม Kaiser เพื่อให้เขาไม่หลุดประเด็นว่าการกรอง (filtering) ไม่จำเป็นต้องเกี่ยวกับสัญญาณตามเวลาเท่านั้น และสุดท้ายเตือนพวกเขาในสิ่งที่พวกเขารู้จากสถิติ (หรือควรจะรู้แต่บางทีอาจไม่รู้)

ผมคิดจากประสบการณ์ว่า บทบาทนี้ยิ่งจำเป็นขึ้นเมื่อผู้คนเชี่ยวชาญลึกซึ้งและมีความรู้แคบลงเรื่อย ๆ ใครสักคนต้องรักษามุมมองกว้างและทำให้แน่ใจว่างานต่าง ๆ ทำอย่างซื่อสัตย์ ผมคิดว่าผมได้บทบาทนี้จากการศึกษายาวนานในมือของ John Tukey รวมถึงพื้นฐานที่ดีในรูปแบบของเครื่องมือสากลของวิทยาศาสตร์ คือคณิตศาสตร์ ผมจะพูดในบทที่ 23 เกี่ยวกับธรรมชาติของคณิตศาสตร์

ส่วนใหญ่การประมวลผลสัญญาณจริง ๆ แล้วทำกับสัญญาณตามเวลา แต่น่าจะมีการออกแบบฟิลเตอร์ดิจิทัลสำหรับการศึกษาขนาดเล็กเฉพาะงานมากขึ้น ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นสัญญาณตามเวลา นี่คือสิ่งที่ผมขอให้คุณให้ความสนใจในอนาคต สมมติว่าเมื่อคุณอยู่ในตำแหน่งบริหารระดับสูง คุณสนใจข้อมูลที่แสดงบันทึกในอดีตของอัตราส่วนค่าใช้จ่ายแรงงานต่ออุปกรณ์ ข้อมูลนั้นย่อมมีสัญญาณรบกวน แต่คุณอยากเข้าใจในเชิงพื้นฐานว่ามีอะไรเกิดขึ้นในองค์กร—แนวโน้มระยะยาวอะไรที่เกิดช้ามากจนผู้คนแทบไม่รู้สึกในขณะที่มันเกิด แต่ก็สำคัญต่อการบริหาร คุณจะต้องใช้ฟิลเตอร์ดิจิทัลเพื่อทำให้ข้อมูลเรียบเพื่อมองแนวโน้มถ้ามี คุณไม่อยากพบแนวโน้มเมื่อมันไม่มีอยู่จริง แต่ถ้ามันมี คุณก็อยากรู้โดยประมาณว่ามันเป็นอย่างไร เพื่อจะพยากรณ์ว่าในอนาคตอันใกล้มันน่าจะเป็นอย่างไร จริง ๆ แล้วคุณอาจอยากสังเกต หากข้อมูลเอื้อให้เห็น การเปลี่ยนแปลงในความชันของแนวโน้ม บางสัญญาณ เช่น อัตราส่วนกำลังยิงต่อตันของเรือที่เกี่ยวข้อง อาจไม่เกี่ยวกับเวลาเลย แต่จะบอกอะไรบางอย่างเกี่ยวกับสภาพปัจจุบันของกองทัพเรือ คุณก็สามารถศึกษาในเชิงความสัมพันธ์ตามเวลาได้เช่นกัน

ผมขอแนะนำอย่างยิ่งว่าเมื่อคุณอยู่บนสุดของสายอาชีพ คุณจะสามารถใช้การกรองดิจิทัลระดับต่ำจำนวนมากกับสัญญาณ ไม่ว่าจะเป็นตามเวลาหรือไม่ก็ตาม เพื่อช่วยให้บริหารได้ดีขึ้น ดังนั้นผมกล่าวว่าคุณน่าจะออกแบบฟิลเตอร์มากขึ้นสำหรับงานพิสดารเช่นนี้ มากกว่าการลดข้อมูลเรดาร์หรือสิ่งที่เป็นมาตรฐาน มักเป็นในแอปพลิเคชันใหม่ของความรู้ที่คุณจะพบกำไรสูงสุด

ขอเตือนเกี่ยวกับการใช้เครื่องมือเชิงปัญญาอย่างไม่เหมาะสม และผมจะพูดในบทที่ 27 เกี่ยวกับหัวข้อที่ใกล้ชิดกับสถิติมากกว่าที่ผมมีเวลาตอนนี้ การวิเคราะห์ฟูเรียร์นำมาซึ่งสมมติฐานเรื่องความเป็นเชิงเส้นของโมเดลพื้นฐาน คุณสามารถใช้มันในสถานการณ์ที่มีความไม่เชิงเส้นเล็กน้อยได้ แต่บ่อยครั้งการวิเคราะห์ฟูเรียร์ที่ละเอียดล้ำลึกล้มเหลวเพราะปรากฏการณ์พื้นฐานนั้นไม่เชิงเส้นเกินไป ผมเคยเห็นเงินหลายล้านดอลลาร์ถูกเทไปในทางที่ผิดเมื่อคนนอกเห็นชัดว่าความไม่เชิงเส้นจะทำลายการวิเคราะห์เชิงเส้นทั้งหมดที่พวกเขาทำโดยใช้วิธีฟูเรียร์ เมื่อชี้ให้พวกเขาเห็น คำตอบของพวกเขาดูเหมือนจะเป็นว่าพวกเขาไม่รู้จะทำอย่างอื่น ดังนั้นพวกเขาจึงยืนยันทำสิ่งที่ผิดต่อไป! ผมไม่ได้พูดเกินจริง

แล้วฟิลเตอร์ไม่เชิงเส้นล่ะ? ความเป็นไปได้มีมากมาย และแน่นอนต้องขึ้นกับปัญหาเฉพาะที่คุณมี ผมจะพูดเพียงอย่างเดียว คือ running median filter เมื่อให้ชุดข้อมูลหนึ่ง คุณคำนวณค่า median เคลื่อนที่เป็นผลลัพธ์ ลองพิจารณามันในทางปฏิบัติ ก่อนอื่นคุณจะเห็นว่ามันมีแนวโน้มจะทำให้สัญญาณรบกวนท้องถิ่นเรียบ—median จะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ย ซึ่งเป็นการปรับเชิงเส้นแบบ least-squares ใช้สำหรับการทำ smoothing ท้องถิ่น แต่เมื่อเกิด discontinuity, Figure 17.2, สมมติว่ามีเส้นระดับราบหนึ่งแล้วลดลงไปสู่เส้นระดับราบอีกอัน ฟิลเตอร์จะทำอย่างไร? ถ้ามีจำนวนสมาชิกเป็นคี่ใน median filter คุณจะเห็นว่าเอาต์พุตจะยังคงอยู่ที่ระดับบนจนกว่าคุณจะมีจุดมากกว่าครึ่งหนึ่งอยู่ที่ระดับล่าง แล้วมันจะ jump ไปที่ระดับล่าง มันจะตาม discontinuity ได้ค่อนข้างดี และจะไม่พยายามทำให้มันเรียบไปทั้งหมด! ในบางสถานการณ์นั่นคือการกรองที่คุณต้องการ กำจัดสัญญาณรบกวนท้องถิ่น แต่ไม่สูญเสียการเปลี่ยนแปลงฉับพลันในสภาพของระบบที่กำลังศึกษา

สรุป: Figure 17.2—Median filter

ผมขอย้ำอีกครั้งว่า การวิเคราะห์ฟูเรียร์เป็นเชิงเส้น และมีฟิลเตอร์ไม่เชิงเส้นมากมาย แต่ทฤษฎียังพัฒนาไม่มากเกินไปนอกเหนือจาก running median Kalman filters เป็นตัวอย่างอีกตัวของการใช้ฟิลเตอร์ที่กึ่งไม่เชิงเส้น โดยส่วนที่ไม่เชิงเส้นคือการที่ตัวกรองเองปรับตัวให้เข้ากับสัญญาณ

อีกข้อสังเกตพื้นฐานสุดท้ายที่ผมได้เมื่อพยายามเรียนรู้ฟิลเตอร์ดิจิทัล วันหนึ่งขณะตรวจหนังสือเกี่ยวกับอินทิกรัลของฟูเรียร์ ผมพบทฤษฎีหนึ่งที่กล่าวว่าความแปรปรวนของฟังก์ชันคูณกับความแปรปรวนของทรานส์ฟอร์มของมันต้องมากกว่าค่าคงที่บางค่า ผมจึงพูดกับตัวเองว่า “นี่อะไรกัน นอกจากหลักความไม่แน่นอน (uncertainty principle) ที่มีชื่อเสียงในกลศาสตร์ควอนตัม?” ใช่ ทุกทฤษฎีเชิงเส้นต้องมีหลักความไม่แน่นอนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรผกผัน เมื่อคุณยอมรับแนวทางเชิงเส้น และ qm บอกถึงการเพิ่มกันอย่างสมบูรณ์ของ eigenstates แล้วคุณจะต้องพบหลักความไม่แน่นอน เส้นเวลาเชิงเส้นคงที่นำโดยอัตโนมัติถึง eigenfunctions e^{iωt} ซึ่งนำไปสู่อินทิกรัลฟูเรียร์ และอินทิกรัลฟูเรียร์มีหลักความไม่แน่นอน มันเหมือนกับการใส่แว่นกรองสีน้ำเงิน; ทุกที่ที่คุณมองคุณต้องเห็นสิ่งต่าง ๆ ด้วยโทนสีฟ้า! ดังนั้นคุณจึงไม่แน่ใจว่าหลักความไม่แน่นอนที่มีชื่อเสียงของ qm นั้นมีอยู่จริงหรือไม่; มันอาจเป็นเพียงผลของการสมมติความเป็นเชิงเส้นมาก่อน สิ่งที่เรามองเห็นขึ้นอยู่กับวิธีที่เราจัดการกับปัญหา! บ่อยครั้งเรามองเห็นในสิ่งที่เราอยากเห็น ดังนั้นคุณต้องตั้งใจมีทัศนคติทางวิทยาศาสตร์ที่สงสัยความเชื่อของตัวเอง

เพื่ออธิบายเรื่องนี้ ผมจะเล่าเรื่องของ Eddington เกี่ยวกับชาวประมง พวกเขาใช้ตาข่ายจับปลา และเมื่อพวกเขาตรวจขนาดปลาที่จับได้ พวกเขาก็ตัดสินใจว่ามีขนาดขั้นต่ำของปลาที่มีอยู่ในทะเล

สรุปแล้ว ถ้าคุณไม่ตั้งคำถามกับกฎที่ยอมรับกันเป็นครั้งคราว ก็เป็นไปได้ยากที่คุณจะเป็นผู้นำสู่พื้นที่ใหม่ ๆ; ถ้าคุณสงสัยมากเกินไปคุณจะชะงักและทำอะไรไม่ได้ การจะสงสัยเมื่อใด จะตรวจสอบพื้นฐานเมื่อไหร่ จะคิดด้วยตัวเองเมื่อไหร่ และเมื่อใดที่จะยอมรับสิ่งต่าง ๆ ตามที่เป็นนั้นเป็นเรื่องของสไตล์ และผมไม่สามารถให้สูตรง่าย ๆ ในการตัดสินใจได้ คุณต้องเรียนรู้จากการศึกษาชีวิตของตัวเอง ความก้าวหน้าครั้งใหญ่ ๆ มักมาจากการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญในความเชื่อพื้นฐานของสาขาหนึ่ง เมื่อความรู้ของเราก้าวหน้า ความสมดุลระหว่างแง่มุมของการทำวิจัยก็เปลี่ยนไปในทำนองเดียวกัน เช่นเดียวกัน เมื่อคุณยังหนุ่มโอกาสจากความบังเอิญ (serendipity) อาจมีเวลายาวให้ผลตอบแทน แต่เมื่อคุณแก่แล้วมันมีเวลาน้อยและคุณควรเน้นไปที่สิ่งที่อยู่ใกล้มือ