เมื่อ "digital filters" ปรากฏขึ้นครั้งแรก ผู้คนมองว่ามันเป็นเพียงรูปแบบหนึ่งของ "analog filters" แบบดั้งเดิม — ไม่เห็นว่ามันเป็นสิ่งใหม่ที่แตกต่างเชิงพื้นฐาน นี่คือความผิดพลาดเดียวกันกับที่เกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำเล่าในยุคแรกของ "computers" มีคนบอกผมซ้ำๆ จนแทบจะเบื่อว่า คอมพิวเตอร์ไม่ต่างจากเครื่องคิดเลขตั้งโต๊ะขนาดใหญ่และรวดเร็ว “สิ่งที่เครื่องทำได้ คุณก็ทำด้วยมือได้” ซึ่งมองข้ามความเร็ว ความแม่นยำ ความน่าเชื่อถือ และต้นทุนที่ต่ำกว่าของเครื่องเมื่อเทียบกับมนุษย์ โดยทั่วไป การเปลี่ยนแปลงเพียงหนึ่งลำดับความเร็ว (คูณด้วยสิบ) มักก่อให้เกิดผลกระทบเชิงพื้นฐาน และคอมพิวเตอร์ก็เร็วกว่าการคำนวณด้วยมือเป็นหลายเท่า ผู้ที่ยืนยันว่าไม่มีความแตกต่างเชิงสาระไม่เคยมีส่วนสำคัญในการพัฒนาคอมพิวเตอร์ ส่วนผู้ที่มีผลงานสำคัญมองคอมพิวเตอร์เป็นสิ่งใหม่ที่ควรศึกษาด้วยตัวมันเอง ไม่ใช่แค่เครื่องคิดเลขตั้งโต๊ะที่ปรับแต่งขึ้นเล็กน้อย

นี่เป็นความผิดพลาดที่เกิดขึ้นบ่อยๆ ผู้คนมักอยากคิดว่าสิ่งใหม่ก็เหมือนอดีต — พวกเขาชอบความสบายทั้งทางความคิดและสภาพร่างกาย — จนทำให้ตัวเองไม่สามารถมีส่วนสำคัญต่อสาขาใหม่ที่กำลังก่อตัวขึ้นตรงหน้า ไม่ใช่ทุกสิ่งที่อ้างว่าเป็นของใหม่จะเป็นของใหม่จริง และในบางกรณีการตัดสินว่าอะไรเป็นของใหม่ก็ยาก แต่ปฏิกิริยาที่เห็นบ่อยเกินไปว่า “มันไม่ใช่เรื่องใหม่” นั้นเป็นการตอบสนองที่ไม่ฉลาด เมื่อมีสิ่งที่ถูกเรียกว่ามาใหม่ อย่ารีบด่วนคิดว่ามันเป็นแค่การปรับปรุงจากอดีต—_มันอาจเป็นโอกาสอันยิ่งใหญ่ให้คุณทำสิ่งสำคัญได้_—แต่ก็มีความเป็นไปได้ว่าอาจไม่ใช่ของใหม่จริงๆ

ฟิลเตอร์ดิจิทัลที่ผมใช้ครั้งแรก ในยุคที่คอมพิวเตอร์ยังหยาบและดั้งเดิม คือฟิลเตอร์ที่ทำการทำให้เรียบ (smoothing) โดยเฉลี่ยสามจุดก่อน จากนั้นจึงเฉลี่ยห้าจุด เมื่อดูจากสูตรของการทำ smoothing การเฉลี่ยแบบสามมี transfer function (ฟังก์ชันการถ่ายโอน) ดังนี้

สรุป: which is easy to draw. The smoothing by fives is the same, except that the 3/2 becomes a 5/2, and is again easy to draw, Figure 15.1. One filter followed by the other is obviously their product (each multiplies the input eigenfunction by the transfer function at that frequency), and you see there will be three zeros in the interval, and the terminal value will be 1/15. An examination will show the upper half of the frequencies were fairly well removed by this very simple program for computing a running sum of three numbers, followed by a running sum of five—as is common in computing practice, the divisors were left to the very end, where they were allowed for by one multiplication by 1/15.

Figure 15.1—ฟังก์ชันการถ่ายโอนสำหรับการทำให้เรียบแบบสามและห้า

สรุป: Now you may wonder how, in all its detail, a digital filter removes frequencies from a stream of numbers—and even students who have had courses in digital filters may not be at all clear how the miracle happens. Hence I propose, before going further, to design a very simple digital filter and show you the inner working on actual numbers.

ผมจะออกแบบฟิลเตอร์อย่างง่ายที่มีเพียงสัมประสิทธิ์สองค่า ดังนั้นจึงสามารถตอบเงื่อนไขได้สองข้อบน transfer function เมื่อทำทฤษฎีเราใช้ความถี่เชิงมุม ω แต่ในการปฏิบัติเราใช้การหมุน f และความสัมพันธ์คือ

ให้เงื่อนไขแรกสำหรับ digital filter ของเราเป็นว่า ที่ f = 1/6 ค่า transfer function ต้องเท่ากับ 1 เป๊ะ (ความถี่นี้ให้ผ่านฟิลเตอร์โดยไม่ถูกเปลี่ยนแปลง) และเงื่อนไขที่สองคือที่ f = 1/3 ค่าต้องเป็นศูนย์ (ความถี่นี้ถูกตัดออกหมด) ฟิลเตอร์อย่างง่ายของผมมีรูปแบบโดยมีสัมประสิทธิ์สองตัว a และ b,

เมื่อนำ eigenfunction e2π__ifn ไปแทน เราจะได้ transfer function และเพื่อความสะดวกให้ใช้ n = 0,

สรุป: The solution is

และฟิลเตอร์การทำให้เรียบคือ

สรุป: In words, the output of the filter is the sum of three consecutive inputs divided by two, and the output is opposite the middle input value. (It is the earlier smoothing by threes, except for the coefficient 1/2.)

ตอนนี้เพื่อสร้างข้อมูลตัวอย่างสำหรับอินพุตของฟิลเตอร์ ที่ความถี่ f = 1/6 เราใช้โคไซน์ที่ความถี่นั้น โดยเอาค่าโคไซน์ที่ตำแหน่งระยะห่างเท่ากัน n = 0, 1, … ในคอลัมน์ที่สองของข้อมูลเราใช้ความถี่ที่สอง f = 1/3 และสุดท้ายคอลัมน์ที่สามเป็นผลรวมของสองคอลัมน์อื่น ๆ ซึ่งเป็นสัญญาณที่ประกอบด้วยสองความถี่ในสัดส่วนเท่าๆ กัน

สรุป: | n | 1/6 | 1/3 | Sum | | --- | --- | --- | --- | | 0 | 1 | 1 | 2 | | 1 | 1/2 | –1/2 | 0 | | 2 | –1/2 | –1/2 | –1 | | 3 | –1 | 1 | 0 | | 4 | –1/2 | –1/2 | –1 | | 5 | 1/2 | –1/2 | 0 | | 6 | 1 | 1 | 2 | | 7 | 1/2 | –1/2 | 0 | | 8 | –1/2 | –1/2 | –1 | | … | … | … | … |

เราจะนำข้อมูลผ่านฟิลเตอร์ ตามสูตรของฟิลเตอร์ เราคำนวณผลรวมของตัวเลขสามค่าที่ต่อเนื่องกันในคอลัมน์ แล้วหารผลรวมด้วยสอง เมื่อทำเช่นนี้กับคอลัมน์แรก คุณจะเห็นว่าเมื่อฟิลเตอร์เลื่อนลงหนึ่งแถว มันจะทำซ้ำฟังก์ชันนำเข้า (โดยมีตัวคูณเป็น 1) ลองใช้ฟิลเตอร์กับคอลัมน์ที่สองแล้วจะพบว่าเอาต์พุตทุกค่าจะเป็นศูนย์เป๊ะๆ คือฟังก์ชันนำเข้าคูณด้วย eigenvalue เท่ากับ 0 คอลัมน์ที่สาม ซึ่งเป็นผลรวมของสองคอลัมน์แรก ควรให้ผ่านความถี่แรกและตัดความถี่ที่สอง และที่ได้จะเท่ากับคอลัมน์แรกพอดี คุณสามารถลองอินพุตความถี่ 0 แล้วจะได้ค่า 3/2 สำหรับทุกค่าที่รับ; ถ้าลองที่ f = 1/4 คุณจะได้อินพุตถูกคูณด้วย 1/2 (ค่าของ transfer function ที่ f = 1/2)

สรุป: You have just seen a digital filter in action. The filter decomposes the input signal into all its frequencies, multiplies each frequency by its corresponding eigenvalue (the transfer function), and then adds all the terms together to give the output. The simple linear formula of the filter does all this!

ตอนนี้เรากลับมาที่ปัญหาการออกแบบฟิลเตอร์ สิ่งที่มักต้องการโดยอุดมคติคือ transfer function ที่มีการตัดอย่างคมชัดระหว่างความถี่ที่ให้ผ่านอย่างเป๊ะ (มี eigenvalue = 1) และความถี่ที่ถูกตัดทิ้ง (มี eigenvalue = 0) ตามที่คุณทราบ Fourier series สามารถแทนฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องแบบนี้ได้ แต่ต้องใช้จำนวนเทอมอนันต์ อย่างไรก็ตาม หากต้องการฟิลเตอร์ที่ใช้งานได้จริง เรามีจำนวนเทอมจำกัด; ฟิลเตอร์แบบ smoothing ที่มี 2k + 1 เทอม จะให้สัมประสิทธิ์อิสระเพียง k + 1 ค่า ดังนั้นจะสามารถตอบเงื่อนไขเชิงอิสระได้เพียง k + 1 เงื่อนไขจากผลรวมของโคไซน์เหล่านั้น

สรุป: If we simply expand the desired transfer function into a sum of cosines and then truncate it, we will get a least-squares approximation to the transfer function. But at a discontinuity the least-squares fit is not what you probably think it is.

เพื่อเข้าใจสิ่งที่เราจะเห็นที่จุดไม่ต่อเนื่อง เราต้องศึกษาปรากฏการณ์ Gibbs phenomenon ก่อน เราขอทบทวนทฤษฎีหนึ่ง: หากอนุกรมของฟังก์ชันต่อเนื่องลู่เข้ารวมแบบสม่ำเสมอในช่วงปิด ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่ฟังก์ชันที่เราต้องการประมาณนั้นไม่ต่อเนื่องเพราะมีการกระโดด (discontinuity) ระหว่างแถบที่ให้ผ่านและแถบที่ถูกตัดทิ้ง ไม่ว่าจะใช้เทอมจำนวนเท่าไร เนื่องจากไม่สามารถมีการลู่เข้ารวมแบบสม่ำเสมอได้ เราจึงคาดว่าจะเห็นการโอเวอร์ชู้ตอย่างมีนัยสำคัญบริเวณใกล้จุดซิงกูลาริตี้ เมื่อเรานำเทอมมากขึ้น ขนาดของการโอเวอร์ชู้ตจะยัง ไม่ เข้าใกล้ศูนย์

อีกเรื่องหนึ่ง Michelson เจ้าของชื่อเสียง Michelson-Morley สร้างเครื่องแอนะล็อกเพื่อหาสัมประสิทธิ์ของ Fourier series ออกไป 75 เทอม เครื่องนั้นยังทำงานกลับจากสัมประสิทธิ์ไปเป็นฟังก์ชันได้ด้วย เมื่อ Michelson ทำเช่นนี้เขาสังเกตการโอเวอร์ชู้ตและถามนักคณิตศาสตร์ท้องถิ่นว่าทำไมถึงเกิดขึ้น ทุกคนบอกว่าเป็นที่อุปกรณ์ของเขา—ทั้งที่เขาเป็นผู้ทดลองที่พิถีพิถัน มีเพียง Gibbs แห่ง Yale เท่านั้นที่ฟังและสืบค้นเรื่องนี้

แนวทางที่ตรงที่สุดคือขยายการกระโดดแบบมาตรฐาน เช่น ฟังก์ชัน

แล้วขยายเป็นอนุกรม Fourier ที่มีจำนวนเทอมจำกัด จัดเรียงใหม่ แล้วหาตำแหน่งของจุดสูงสุดแรกและความสูงของฟังก์ชันที่จุดนั้น ผลที่ได้ (ดู Figure 15.2) คือโอเวอร์ชู้ตประมาณ 0.08949 หรือ 8.949% ในขีดจำกัดเมื่อจำนวนเทอมของอนุกรม Fourier เข้าใกล้อนันต์ หลายคนมีโอกาสที่จะค้นพบ (จริงๆ คือค้นพบซ้ำ) ปรากฏการณ์ของ Gibbs และ Gibbs เป็นผู้ที่ทำงานเรื่องนี้ นี่เป็นอีกตัวอย่างของสิ่งที่ผมยืนยันว่า โอกาสอยู่รอบตัวเราและมีคนเพียงไม่กี่คนที่คว้าจับมัน ตามที่ Pasteur กล่าวไว้ “Luck favors the prepared mind.” ครั้งนี้ผู้ที่เตรียมพร้อมที่จะฟังและช่วยนักวิทยาศาสตร์ชั้นยอดเมื่อเขาประสบปัญหาจึงได้รับชื่อเสียง

Figure 15.2—ผลรวมย่อย _S_1, _S_5, _S_9 สำหรับพัลส์สี่เหลี่ยม (บน) และเส้นตรง (ล่าง)

ผมกล่าวว่าเรื่องนี้ถูกค้นพบซ้ำ จริงๆ แล้ว ในทศวรรษ 1850 หนังสือเรียนของ Cauchy แสดง (1) ว่าอนุกรมของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ลู่เข้าจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันต่อเนื่อง และ (2) แสดงการขยาย Fourier ของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง ทั้งสองข้อขัดแย้งกันโดยตรง บางคนพิจารณาเรื่องนี้และพบว่าจำเป็นต้องใช้แนวคิดของ uniform convergence ใช่แล้ว การโอเวอร์ชู้ตของ Gibbs phenomenon เกิดขึ้นกับอนุกรมของฟังก์ชันต่อเนื้อหาใดๆ ไม่ได้จำกัดเฉพาะ Fourier series และมีคนบางกลุ่มรู้เรื่องนี้อยู่แล้ว แต่แนวคิดยังไม่แพร่หลาย สำหรับชุดฟังก์ชันออร์โธกอนัลทั่วไป ปริมาณของการโอเวอร์ชู้ตขึ้นกับตำแหน่งที่เกิดการไม่ต่อเนื่องภายในช่วง ซึ่งต่างจากกรณีของฟังก์ชัน Fourier ที่ปริมาณโอเวอร์ชู้ตไม่ขึ้นกับตำแหน่งของการไม่ต่อเนื่อง

เราจำเป็นต้องเตือนอีกเรื่องเกี่ยวกับ Fourier series หากฟังก์ชันมีอยู่ (ในความหมายเชิงปฏิบัติ) แล้วสัมประสิทธิ์จะลดลงประมาณ 1/n. หากฟังก์ชันต่อเนื่อง (Figure 15.3 — ค่าที่ขอบทั้งสองต้องเท่ากัน) และอนุพันธ์มีอยู่แล้ว สัมประสิทธิ์จะลดลงประมาณ 1/_n_2; หากอนุพันธ์อันดับหนึ่งต่อเนื่องและอนุพันธ์อันดับสองมีอยู่ สัมประสิทธิ์จะลดลงประมาณ 1/_n_3; หากอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องและอนุพันธ์อันดับสามมีอยู่ ก็จะเป็น 1/_n_4 เป็นต้น ดังนั้นอัตราการลู่เข้าจึงสังเกตได้จากฟังก์ชันบนเส้นจริงโดยตรง ซึ่งต่างจากอนุกรม Taylor ที่การลู่เข้าถูกควบคุมโดยซิงกูลาริตี้ที่อาจอยู่ในระนาบเชิงซ้อน

Figure 15.3—ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าขอบทั้งสองเท่ากัน

ตอนนี้เรากลับมาสู่การออกแบบฟิลเตอร์แบบ smoothing โดยใช้ Fourier series เพื่อหาพจน์นำ เราพบว่าการฟิตแบบ least-squares มีปัญหาเมื่อมีจุดไม่ต่อเนื่อง—จะเกิดการโอเวอร์ชู้ตที่ไม่น่าพิสมัยใน transfer function สำหรับจำนวนเทอมที่จำกัด ไม่ว่าคุณจะขยายไปไกลแค่ไหนก็ยังมีปัญหานี้

เพื่อกำจัดการโอเวอร์ชู้ตนี้ เรามาดู Lanczos window ก่อน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า “box car” หรือ “rectangular” window Lanczos ให้เหตุผลว่า หากเขาเฉลี่ยฟังก์ชันเอาต์พุตเหนืออินเทอร์วอลที่ยาวเท่ากับช่วงหนึ่งรอบของความถี่สูงสุดที่ปรากฏ การเฉลี่ยนี้จะช่วยลดริปเปิลได้มาก เพื่อดูรายละเอียด เรานำการขยาย Fourier series ที่ถูกตัดทอนที่ฮาร์มอนิกที่ N แล้วอินทิเกรตรอบจุด t ในช่วงสมมาตรที่มีความยาว 1/N ของช่วงทั้งหมด ตั้งสมการสำหรับการเฉลี่ยดังนี้,

สรุป: We now integrate to get

แทนขอบเขตแล้วใช้ตรีโกณมิติและพีชคณิตบางอย่างจะได้

สรุป: Thus you come out with the original coefficients multiplied by the so-called sigma factors,

สรุป: An examination of these numbers as a function of k (the number of terms you are keeping in the Fourier series, N, being fixed), you will find at k = 0 the sigma factor is 1, and the sigma factors fall off until at k = N they are 0. Thus they are another example of a window. The effect of the Lanczos window is to reduce the overshoot to about 0.01189 (by about a factor of 7) and the first minimum to 0.00473 (by about a factor of 10), which is a significant but not complete reduction of the Gibbs phenomenon.

แต่กลับมาสู่ประสบการณ์ของผมเอง ผมรู้ว่า ณ จุดที่มีการกระโดด การขยาย Fourier ที่ถูกตัดทอนจะรับค่ากลางของขอบทั้งสองฝั่ง ซึ่งทำให้ผมคิดว่า แทนที่จะใช้ค่า 1 ในแถบที่ให้ผ่านและ 0 ในแถบที่หยุด ผมควรใช้ค่า 1/2 ที่ค่าทรานซิชัน เมื่อทำเช่นนี้ ฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเป็น

และตอนนี้มีแฟคเตอร์เพิ่มขึ้น (กลับมาใช้สัญลักษณ์หมุน)

และค่า N + 1 ในเทอมไซน์จะกลายเป็น N เช่นเดียวกับตัวหาร N + 1 ที่กลายเป็น N ชัดเจนว่าฟังก์ชันการถ่ายโอนนี้ดีกว่า Lanczos ในการเป็น low-pass filter เพราะมันหายไปที่ความถี่ Nyquist และยังลดการสั่นของความถี่สูงลงอีก ผมค้นคว้าในหนังสือเกี่ยวกับอนุกรมตรีโกณมิตและพบแค่เล่มเดียวของ Zygmund ที่เรียกสิ่งนี้ว่า modified series การเตรียมพร้อมเพิ่มเติมครั้งนี้ไม่ได้ให้ผลลัพธ์ยิ่งใหญ่อะไรมากนัก แต่เมื่อผมหามันเจอด้วยตัวเอง ผมคิดว่ายิ่งปรับแก้สัมประสิทธิ์ของอนุกรม Fourier มากขึ้น (ว่ามากแค่ไหนและที่ตำแหน่งใดยังต้องค้นหา) ผมอาจทำได้ดีกว่า สรุปคือ ผมเข้าใจแนวคิดของ “windows” ชัดขึ้น และเริ่มหันมาสำรวจความเป็นไปได้ของมันอย่างจริงจัง

สรุป: A still third approach to the important Gibbs phenomenon is via the problem of combining Fourier series. Let g(x) be (and we are using the neutral variable x for a good reason)

และให้ฟังก์ชันอีกตัวเป็น

ผลรวมและผลต่างของ g(x) และ h(x) แน่นอนว่าจะเป็นอนุกรมที่มีสัมประสิทธิ์เป็นผลรวมหรือผลต่างของสัมประสิทธิ์เดิม

ผลคูณเป็นเรื่องอื่น เมื่อพิจารณาจะได้เป็นผลรวมของเอ็กซ์โพเนนเชียลอีกครั้ง และตั้ง n = k + m เราจะได้สัมประสิทธิ์ตามที่ระบุไว้:

สรุป: The coefficient of einx, which is a sum of terms, is called the convolution of the original arrays of coefficients.

ในกรณีที่มีเพียงไม่กี่สัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ในอาเรย์ c_k สมมติว่าเรียงสมมาตรรอบศูนย์ เราจะได้สัมประสิทธิ์

สรุป: and this we recognize as the original definition of a digital filter! Thus a filter is the convolution of one array by another, which in turn is merely the multiplication of the corresponding functions! Multiplication on one side is convolution on the other side of the equation.

ตัวอย่างการใช้ข้อสังเกตนี้ สมมติว่าเรามีข้อมูลที่อาจเป็นจำนวนอนันต์ แต่เราบันทึกได้เพียงชุดข้อมูลจำกัด (เช่น เปิดปิดกล้องโทรทรรศน์ขณะสังเกตดาว) ฟังก์ชัน u_n ถูกมองผ่านหน้าต่างสี่เหลี่ยมที่เป็น 0 นอกช่วงของ (2N + 1) ค่า 1 — ค่า 1 เมื่อเราสังเกต และค่า 0 เมื่อเราไม่สังเกต เมื่อพยายามคำนวณการขยาย Fourier ของอาเรย์ดั้งเดิมจากข้อมูลที่สังเกต เราจำเป็นต้อง convolution สัมประสิทธิ์ดั้งเดิมกับสัมประสิทธิ์ของอาเรย์ของหน้าต่าง:

สรุป: Generally we want a window of unit area, so we need, finally, to divide by (2N + 1). The array is a geometric progression with the starting value of e−iNx and constant ratio of eix:

ที่ x = 0 ค่านี้เป็น 1 และที่อื่นๆ จะสั่นขึ้นลงเร็วเพราะฟังก์ชันไซน์ในตัวเศษ และลดลงช้าเพราะการเพิ่มขึ้นของไซน์ในตัวส่วน (ช่วงของ x อยู่ตั้งแต่ –__π ถึง π) ดังนั้นเราจะเห็นรูปแบบเลี้ยวเบี่ยงดั่งแสง (diffraction) แบบทั่วไปของ optics

สรุป: In the continuous case, before sampling, the situation is much the same, but the rectangular window we look through has the transform of the general form (ignoring all details)

และการ convolution ของสเต็ปฟังก์ชัน (discontinuity) กับมันจะเมื่อพิจารณาจะให้ปรากฏการณ์ Gibbs overshoot, Figure 15.2 ดังนั้นเราจะเห็น Gibbs phenomenon ในมุมมองอีกแบบหนึ่ง

การจัดการเชิงตรีโกณบางอย่างจะโน้มน้าวให้คุณว่า ไม่ว่าเราจะสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันก่อนแล้วจำกัดช่วงการสังเกต หรือจำกัดช่วงแล้วจึงสุ่มตัวอย่าง ท้ายที่สุดผลลัพธ์จะเหมือนกัน; ทฤษฎีจะบอกคุณเช่นเดียวกัน

สรุป: The simple modification of the discrete Lanczos window by changing only the outer two coefficients from 1 to 1/2 produced a much better window. The Lanczos window with its sigma factors modified all the coefficients, but its shape had a corner at the ends, and this means, due to periodicity, there are two discontinuities in the first derivative of the window shape—hence slow convergence. If we reason using weights on the coefficients of the raw Fourier series of the form of a raised cosine

แล้วถ้าเขียนในรูปแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล เราจะพบว่าเวทบนเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ

สรุป: Writing this out in the exponential form we find the weights on the exponentials are

เราบางครั้งต้องจัดการกับสเปกตรัมที่มีเส้นความถี่แรง และเมื่อมองที่อื่นผ่าน von Hann window side lobes อาจยอมให้พลังงานจำนวนมากเข้ามา Hamming window ถูกออกแบบมาเพื่อลด side lobe สูงสุดให้มีค่าน้อยที่สุด ผลแลกคือมีการรั่วไหลทั้งหมดมากขึ้นในความหมายของค่าเฉลี่ยกำลัง (mean square) แต่เส้นแรงเดียวจะถูกควบคุมได้ดีขึ้น หากคุณเรียก von Hann ว่า “raised cosine” ที่มีเวท

แล้ว Hamming window เป็น “raised cosine on a platform” ที่มีเวท

สรุป: then the Hamming window is a “raised cosine on a platform” with weights

Figure 15.4—ค่าน้ำหนักสำหรับ Hamming และ von Hann windows

สรุป: Figure 15.4—Weight factors for Hamming and von Hann windows

คนที่เป็นเพื่อนของคุณ ในแง่หนึ่ง จะทำให้คุณมีชื่อเสียงโดยการอ้างอิงและอ้างอิงผลงานของคุณ และผมถือว่าการช่วยเหลือผู้อื่นในขณะที่พวกเขาพยายามทำงานเป็นเรื่องที่ได้ผลในระยะยาว พวกเขาอาจในเวลาต่อมามอบเครดิตให้คุณ ซึ่งดีกว่าการที่คุณพยายามอ้างสิทธิ์เอง ความร่วมมือมีความจำเป็นในโครงการที่ซับซ้อนสุดๆ ตอนของคนทำงานเดี่ยวกำลังค่อยๆ จางหายไป การทำงานเป็นทีมสำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นการเรียนรู้ที่จะทำงานเป็นทีม หรือแม้แต่แสวงหาสถานที่ที่คุณจะช่วยผู้อื่นได้ เป็นความคิดที่ดี ในทุกกรณี ความสนุกของการทำงานกับคนเก่งๆ ในปัญหาสำคัญมักให้ความสุขมากกว่าชื่อเสียงผลลัพธ์ และการเลือกปัญหาที่สำคัญโดยทั่วไปแล้วฝ่ายบริหารจะยินดีให้ความช่วยเหลือทั้งหมดที่คุณต้องการ

ในหลายปีที่ผมทำงานด้านคอมพิวเตอร์ที่ Bell Telephone Laboratories ผมระมัดระวังที่จะไม่เขียนงานที่เกี่ยวข้องกับฟิสิกส์ของสถานการณ์นั้น เพื่อจะได้ไม่มีใครกล่าวหาว่าผม “ขโมยไอเดียผู้อื่น” แทนที่ผมให้พวกเขาเขียนรายงาน และถ้าพวกเขาต้องการให้ผมเป็นผู้ร่วมเขียน ก็ดี! การทำงานเป็นทีมหมายถึงการพิจารณาอย่างรอบคอบต่อผลงานและการมีส่วนของผู้อื่นเสมอ และพวกเขาอาจมองผลงานของตัวเองในมุมที่ต่างจากคุณ

สรุป: In my many years of doing computing at Bell Telephone Laboratories I was very careful never to write up a result which involved any of the physics of the situation, lest I get a reputation for “stealing others’ ideas.” Instead I let them write up the results, and if they wanted me to be a coauthor, fine! Teamwork implies a very careful consideration for others and their contributions, and they may see their contributions in a different light than you do!