เมื่อผมได้เป็นศาสตราจารย์ หลังจากทำงานวิจัยอย่างจริงจังเป็นเวลา 30 ปีที่ Bell Telephone Laboratories โดยส่วนใหญ่ใน Mathematics Research Department ผมก็นึกได้ว่าหน้าที่ของศาสตราจารย์คือการคิดและย่อยประสบการณ์ที่ผ่านมา ดังนั้นผมจึงเอาเท้าพาดบนโต๊ะและเริ่มทบทวนอดีต ในช่วงแรกผมทำงานด้านคอมพิวเตอร์เป็นหลัก จึงมีส่วนร่วมในโครงการวิศวกรรมขนาดใหญ่หลายโครงการที่ต้องใช้การคำนวณ เมื่อมองย้อนกลับไปยังระบบขนาดใหญ่หลายระบบที่ผมมีส่วนเกี่ยวข้อง ผมเริ่มเห็นองค์ประกอบร่วมกันทีละน้อย และค่อย ๆ ตระหนักว่าปัญหาการออกแบบมักเกิดขึ้นในพื้นที่มิติ n โดยที่ n คือจำนวนพารามิเตอร์อิสระ ใช่ เราสร้างวัตถุสามมิติ แต่การออกแบบจริง ๆ เกิดขึ้นในพื้นที่มิติสูง — มีมิติหนึ่งต่อพารามิเตอร์การออกแบบแต่ละตัว
ผมยังต้องการให้พื้นที่มิติสูงคุ้นเคยกับคุณ เพื่อให้การพิสูจน์ในบทต่อ ๆ ไปดูเป็นเรื่องที่เข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ โดยไม่ต้องกรอกรายละเอียดเชิงทฤษฎีทั้งหมด ดังนั้นเราจะพิจารณาพื้นที่มิติ n ตอนนี้
คุณอาจคิดว่าคุณอาศัยอยู่ในสามมิติ แต่ในหลายแง่มุมคุณกลับอยู่ในพื้นที่สองมิติ ยกตัวอย่างในการเดินแบบสุ่มของชีวิต หากคุณเจอใครสักคน คุณมีโอกาสกลับมาเจอคนนั้นอีก แต่ในโลกสามมิติ โอกาสเช่นนั้นจะหายไป! ลองนึกถึงปลาในทะเลซึ่งมีศักยภาพจะอาศัยในสามมิติ พวกมันมักเคลื่อนที่ตามผิวน้ำหรือแนบกับพื้น ทำให้สถานการณ์ลดมิติลงเป็นสองมิติ หรือเคลื่อนที่เป็นฝูง หรือรวมตัวกันในที่เดียวพร้อมกัน เช่น ปากแม่น้ำ ชายหาด หรือ Sargasso Sea เป็นต้น หากปลาล่องไปในมหาสมุทรเปิดในสามมิติ พวกมันแทบคาดหวังว่าจะพบคู่ไม่ได้ เช่นเดียวกับเครื่องบิน ถ้าต้องการให้เครื่องบินชนกัน เราจะรวมพวกมันใกล้สนามบิน จัดระดับการบินเป็นชั้นสองมิติ หรือส่งเป็นกลุ่ม การบินแบบสุ่มจริง ๆ แล้วจะเกิดอุบัติเหตุน้อยกว่าที่เราเห็นในปัจจุบัน
สรุป:
Figure 9.1—Pythagorean distance
พื้นที่มิติ n เป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่เราต้องศึกษาเพื่อให้เข้าใจสิ่งที่จะเกิดขึ้นเมื่อเราเข้าไปในพื้นที่นั้นระหว่างการแก้ปัญหาการออกแบบ ในสองมิติเรามีทฤษฎีของพีทาโกรัสที่บอกว่า สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านเส้นตรงมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของสองด้านอื่น ในสามมิติเราต้องการความยาวเส้นทแยงมุมของกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้า Figure 9.1 เพื่อหาเส้นทแยงมุมนี้ เราวาดเส้นทแยงมุมบนหน้าหนึ่ง ใช้ทฤษฎีของพีทาโกรัส แล้วถือเส้นนั้นเป็นด้านหนึ่ง รวมกับด้านที่สามซึ่งตั้งฉากอีกด้านหนึ่ง แล้วจากทฤษฎีพีทาโกรัสอีกครั้ง เราจะได้ว่ากำลังสองของเส้นทแยงมุมเป็นผลรวมของกำลังสองของสามด้านที่ตั้งฉาก มันชัดเจนจากการพิสูจน์นี้และจากความสมมาตรของสูตรว่าเมื่อไปยังมิติที่สูงขึ้น กำลังสองของเส้นทแยงมุมก็ยังคงเป็นผลรวมของกำลังสองของด้านตั้งฉากแต่ละด้าน
โดยที่ x_i คือความยาวของด้านของบล็อกสี่เหลี่ยมในมิติ n
สรุป: Continuing with the geometric approach, planes in the space will be simply linear combinations of the _x_i, and a sphere about a point will be all points which are at the fixed distance (the radius) from the given point.
เราต้องการปริมาตรของทรงกลมมิติ n เพื่อให้เห็นขนาดของพื้นที่จำกัดส่วนหนึ่ง แต่ก่อนอื่นเราต้องการการประมาณค่าแบบ Stirling สำหรับ n! ซึ่งผมจะอนุมานให้ดูเพื่อให้คุณเห็นรายละเอียดส่วนใหญ่และมั่นใจว่าสิ่งที่จะตามมาภายหลังเป็นจริง ไม่ใช่แค่ได้ยินมาโดยผิวเผิน
ผลคู่อย่าง n! จัดการได้ยาก ดังนั้นเราจึงเอาลอการิทึมของ n! แล้วได้
ซึ่งแน่นอนว่า ln คือฟังก์ชันลอการิทึมฐาน e ผลรวมทำให้เรานึกถึงการอินทิเกรต ดังนั้นเราจึงเริ่มด้วยอินทิกรัล
เรานำการอินทิเกรตแบบแยกส่วน (integration by parts) มาใช้ (เพราะเราเห็นว่า ln x เกิดจากการอินทิเกรตฟังก์ชันพหุนาม จึงจะถูกกำจัดในขั้นตอนต่อไป) ให้ตั้ง u = ln x และ dv = dx แล้วจะได้
Figure 9.2—กฎรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
สรุป: On the other hand, if we apply the trapezoid rule, Figure 9.2, to the integral of ln x, we get
เนื่องจาก ln 1 = 0 เมื่อบวก (1/2) ln n เข้ากับทั้งสองเทอม เราจะได้ ในที่สุด:
สรุป: Undoing the logs by taking the exponential of each side gives
สรุป: where C is some constant (not far from e) independent of n, since we are approximating an integral by the trapezoid rule and the error in the trapezoid approximation increases more and more slowly as n grows larger and larger, and C is the limiting value. This is the first form of Stirling’s formula. We will not waste time deriving the limiting, at infinity, value of the constant C, which turns out to be
= 2.5066… (e = 2.71828…). Thus we finally have the usual Stirling’s formula for the factorial:
= 2.5066… (e = 2.71828…). ดังนั้นสุดท้ายเราจึงได้สูตร Stirling สำหรับแฟกทอเรียล:
ตารางต่อไปนี้แสดงคุณภาพของการประมาณค่าแบบ Stirling ต่อ n!
สรุป: Note as the numbers get larger and larger the ratio approaches 1 but the differences get greater and greater!
โปรดสังเกตว่าเมื่อเลขยิ่งโตขึ้น อัตราส่วนจะเข้าใกล้ 1 แต่ความแตกต่างในค่าจริงกลับเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ!
สรุป: then the limit of the ratio f(n)/g(n), as n approaches infinity, is 1, but as in the table the difference
แล้วขีดจำกัดของอัตราส่วน f(n)/g(n) เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ จะเป็น 1 แต่ดังที่เห็นในตาราง ความแตกต่าง
สรุป: We need to extend the factorial function to all positive real numbers. To do this, we introduce the gamma function in the form of the integral
เราต้องขยายฟังก์ชันแฟกทอเรียลให้ครอบคลุมจำนวนจริงบวกทั้งหมด สำหรับการนี้เรานำฟังก์ชันแกมมา (gamma function) ในรูปของอินทิกรัล
สรุป: with Г (1) = 1.
โดยที่ Г(1) = 1
สรุป: We will need the value of
เราจะต้องใช้ค่าของ
ให้ตั้ง x = t_2, ดังนั้น d_x = 2t dt และเราได้ (โดยใช้สมมาตรในขั้นตอนสุดท้าย):
เราใช้เคล็ดลับมาตรฐานในการประเมินอินทิกรัลนี้ โดยคูณอินทิเกรัลนั้นกับตัวมันเอง ครั้งหนึ่งเทียบกับ x และอีกครั้งเทียบกับ y
ตัวแปร x^2 + y^2 บ่งชี้ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว ดังนั้นเราจึงแปลงและได้
สรุป: We now turn to the volume of an n-dimensional sphere (or hypersphere, if you wish). Clearly the volume of a cube in n dimensions and of side x is xn. A little reflection and you will believe the formula for the volume of an n-dimensional sphere must have the form
สรุป: where C_n is a suitable constant. In the case _n = 2 the constant is π; in the case n = 1, it is 2 (when you think about it). In three dimensions we have C_3 = 4_π/3.
โดยที่ C_n เป็นค่าคงที่ที่เหมาะสม ในกรณี n = 2 ค่าคงที่คือ π; ในกรณี n = 1 คือ 2 (ถ้าคิดดู) ในสามมิติเราได้ _C_3 = 4π/3
สรุป: and hence the elements of volume are
ดังนั้นองค์ประกอบปริมาตรคือ
โดยตั้ง r^2 = t
สรุป: It is easy to see
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า
สรุป: | Dimension n | Coefficient _C_n | | | --- | --- | --- | | 1 | 2 | \= 2.00000… | | 2 | π | \= 3.14159… | | 3 | 4π/3 | \= 4.18879… | | 4 | π2/2 | \= 4.93480… | | 5 | 8π2/15 | \= 5.26379… | | 6 | π3/6 | \= 5.16771… | | 7 | 16π3/105 | \= 4.72477… | | 8 | π4/24 | \= 4.05871… | | 9 | 32π4/945 | \= 3.29851… | | 10 | π5/120 | \= 2.55016… | | 2k | πk/k! | → 0 |
สรุป: Thus we see the coefficient C_n increases up to _n = 5 and then decreases towards 0. For spheres of unit radius this means the volume of the sphere approaches 0 as n increases. If the radius is r, then we have for the volume, and using n = 2k for convenience (since the actual numbers vary smoothly as n increases and the odd dimensional spaces are messier to compute),
ดังนั้นเราจะเห็นว่า C_n เพิ่มขึ้นจนถึง n = 5 แล้วค่อยลดลงไปสู่ 0 สำหรับทรงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย หมายถึงปริมาตรของทรงกลมจะเข้าใกล้ 0 เมื่อ n เพิ่มขึ้น หากรัศมีเป็น r เราจะได้ปริมาตร และโดยใช้ n = 2k เพื่อความสะดวก (เพราะค่าจริงเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นเมื่อ n เพิ่มขึ้นและมิติแปลก ๆ ยากจะคำนวณ)
ไม่ว่า r จะใหญ่แค่ไหน การเพิ่มจำนวนมิติ n ในที่สุดจะทำให้ทรงกลมมีปริมาตรเล็กมากได้
สรุป: For large n, no matter how thin the shell is (relative to the radius), almost all the volume is in the shell and there is almost nothing inside. As we say, the volume is almost all on the surface. Even in three dimensions the unit sphere has 7/8 of its volume within 1/2 of the surface. In n dimensions there is 1 – 1/2n within 1/2 of the radius from the surface.
สำหรับ n ขนาดใหญ่ ไม่ว่าเปลือกจะบางเพียงใด (เมื่อเทียบกับรัศมี) ปริมาตรเกือบทั้งหมดจะอยู่ในเปลือกและแทบไม่มีอะไรภายใน เราพูดได้ว่า the volume is almost all on the surface แม้ในสามมิติ หน่วยทรงกลมมี 7/8 ของปริมาตรอยู่ภายในครึ่งหนึ่งของผิว ใน n มิติ จะมี 1 – 1/2^n ภายในครึ่งหนึ่งของรัศมีจากผิว
สรุป: Next we turn to looking at the diagonal of an n-dimensional cube, say the vector from the origin to the point (1, 1, …, 1). The cosine of the angle between this line and any axis is given by definition as the ratio of the component along the axis, which is clearly 1, to the length of the line, which is
. Hence:
ต่อไปเราดูเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์มิติ n สมมติเป็นเวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุด (1, 1, …, 1) คอสายน์ของมุมระหว่างเส้นนี้กับแกนใด ๆ ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนขององค์ประกอบตามแกซึ่งชัดเจนว่าเป็น 1 ต่อความยาวของเส้น ซึ่งเท่ากับ
สรุป: If we use the points with coordinates (±1, ±1, …, ±1), then there are 2n such diagonal lines which are all almost perpendicular to the coordinate axes. For n = 10, for example, this amounts to 1,024 such almost perpendicular lines.
ดังนั้นเมื่อ n ใหญ่ เส้นทแยงมุมแทบตั้งฉากกับทุกแกนพิกัด!
สรุป: I need the angle between two lines, and while you may remember it is the vector dot product, I propose to derive it again to bring more understanding about what is going on. (Aside: I have found it very valuable in important situations to review all the basic derivations involved so I have a firm feeling for what is going on.) Take two points x and y with their corresponding coordinates x_i and _y_i, Figure 9.3. Then, applying the law of cosines in the plane of the three points, _x, y, and the origin, we have
Figure 9.3—กฎของโคไซน์
สรุป: Comparing the two expressions we see that
โดยที่ X และ Y คือความยาวของเส้นไปยังจุด x และ y แต่ C มาจากการใช้ความต่างของพิกัดในแต่ละทิศทาง:
สรุป: The dot product of these factors, taken at random, is again random ones and negative ones, and these are to be added n times, while the length of each is again
, hence (note the n in the denominator)
เรานำสูตรนี้ไปใช้กับเส้นสองเส้นที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุดสุ่มในรูปแบบ:
ดอตโปรดักต์ขององค์ประกอบเหล่านี้ ถ้าทำแบบสุ่ม จะเป็นค่าบวกและลบสลับกัน ซึ่งจะถูกบวกกัน n ครั้ง ในขณะที่ความยาวของแต่ละเส้นอีกครั้งเท่ากับ
สรุป: 
Figure 9.4—Four circles paradox
และโดยกฎเกณฑ์อ่อนไหวของจำนวนมาก (the weak law of large numbers) ค่านี้จะเข้าใกล้ 0 เมื่อ n เพิ่มขึ้น เกือบแน่นอน แต่มีเวกเตอร์สุ่ม 2^n ชุด เช่นนั้น และเมื่อกำหนดเวกเตอร์ใดเวกเตอร์หนึ่ง เวกเตอร์อื่นใดจาก 2^n เหล่านี้ก็แทบจะตั้งฉากกับมันอย่างแน่นอน! มิติ n แผ่ขยายมากจริง ๆ
สรุป: Now in three dimensions you will have a 4×4×4 cube, and eight spheres of unit radius. The inner sphere will touch each outer sphere along the line to their center and will have a radius of
Figure 9.4—ความย้อนแย้งของสี่วงกลม
สรุป: Going to n dimensions, you have a 4 × 4 × … × 4 cube, and 2n spheres, one in each of the corners, and with each touching its n adjacent neighbors. The inner sphere, touching on the inside all of the spheres, will have a radius of
ตอนนี้ในสามมิติคุณจะได้ลูกบาศก์ 4×4×4 และมีทรงกลมแปดลูกซึ่งมีรัศมี 1 หน่วย ทรงกลมด้านในจะสัมผัสทรงกลมภายนอกแต่ละลูกตามเส้นที่ไปยังศูนย์กลางของมัน และจะมีรัศมีเป็น
สรุป: Once satisfied it is correct we apply it to the case of n = 10 dimensions. You have for the radius of the inner sphere
เมื่อไปยังมิติ n คุณจะมีลูกบาศก์ขนาด 4 × 4 × … × 4 และมีทรงกลม 2^n อัน หนึ่งที่มุมแต่ละมุม โดยแต่ละทรงกลมแตะกับเพื่อนที่อยู่ติดกัน n ลูก ภายในทรงกลมภายในที่สัมผัสทรงกลมภายนอกทั้งหมด จะมีรัศมีเป็น
สรุป: So much for your raw intuition about n-dimensional space, but remember the n-dimensional space is where the design of complex objects generally takes place. You had better get an improved feeling for n-dimensional space by thinking about the things just presented, until you begin to see how they can be true, indeed why they must be true. Else you will be in trouble the next time you get into a complex design problem. Perhaps you should calculate the radii of the various dimensions, as well as go back to the angles between the diagonals and the axes, and see how it can happen.
เมื่อพอใจว่ามันถูกต้องแล้ว เรานำไปใช้กับกรณี n = 10 คุณจะได้รัศมีของทรงกลมภายในเป็น
สรุป: The space _L_1 uses not the sum of the squares, but rather the sum of the distances, much as you must do in traveling in a city with a rectangular grid of streets. It is the sum of the differences between the two locations that tells you how far you must go. In the computing field this is often called the “Hamming distance” for reasons which will appear in a later chapter. In this space a circle in two dimensions looks like a square standing on a point, Figure 9.5. In three dimensions it is like a cube standing on a point, etc. Now you can better see how it is in the circle paradox above the inner sphere can get outside the cube.
พอจะพอสำหรับสัญชาตญาณดิบเกี่ยวกับพื้นที่มิติ n แต่ขอให้จำไว้ว่า พื้นที่มิติ n เป็นที่ที่การออกแบบของวัตถุซับซ้อนมักเกิดขึ้น คุณควรมีความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับพื้นที่มิติ n โดยคิดทบทวนสิ่งที่นำเสนอไว้จนเริ่มเห็นว่าทำไมสิ่งเหล่านี้เป็นจริง มิฉะนั้นคุณจะมีปัญหาเมื่อพบโจทย์การออกแบบที่ซับซ้อนครั้งหน้า บางทีคุณอาจคำนวณรัศมีของมิติต่าง ๆ และย้อนกลับไปดูมุมระหว่างเส้นทแยงมุมกับแกน เพื่อดูว่ามันเกิดขึ้นได้อย่างไร
สรุป: 
Figure 9.6—Circle in L∞
พื้นที่ L_1 ไม่ใช้ผลรวมของกำลังสอง แต่ใช้ผลรวมของความต่าง เช่นเดียวกับการเดินทางในเมืองที่มีถนนเป็นตาราง ผลต่างรวมระหว่างสองตำแหน่งบอกได้ว่าต้องเดินไกลเท่าไร ในวงการคอมพิวติ้งนี้มักเรียกเป็น “Hamming distance” ซึ่งเหตุผลจะปรากฏในบทหลัง ในพื้นที่นี้ วงกลมในสองมิติจะดูเหมือนสี่เหลี่ยมที่ตั้งยืนบนมุม (Figure 9.5) ในสามมิติจะเหมือนลูกบาศก์ที่ตั้งบนมุม เป็นต้น ตอนนี้คุณจะเห็นได้ชัดขึ้นว่าทำไมในปริศนาวงกลมข้างต้น ทรงกลมภายในอาจยื่นออกมานอกลูกบาศก์
สรุป: These are all examples of a metric, a measure of distance. The conventional conditions on a metric D(x, y) between two points x and y are:
สรุป: 1. D(x, y) ≥ 0 (non-negative),
- D(x, y) = 0 if and only if x = y (identity),
- D(x, y) = D(y, x) (symmetry), and
- D(x, y) + D(y, z) ≥ D(x, z) (triangle inequality).
มีเมตริกอีกแบบที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือ L_∞ หรือระยะ Chebyshev ในที่นี้ระยะคือความต่างของพิกัดที่มากที่สุด ไม่สนใจความต่างอื่น ๆ (Figure 9.6) ในพื้นที่นี้ วงกลมคือสี่เหลี่ยม สามมิติทรงกลมคือลูกบาศก์ และคุณจะเห็นว่าในกรณีนี้ วงกลมภายในในปริศนาวงกลมจะมีรัศมีเป็น 0 ในทุกมิติ
ทั้งหมดนี้เป็นตัวอย่างของเมตริก (metric) ซึ่งเป็นฟังก์ชันวัดระยะ เงื่อนไขทั่วไปสำหรับเมตริก D(x, y) ระหว่างจุดสองจุด x และ y คือ:
- D(x, y) ≥ 0 (ไม่เป็นลบ),
- D(x, y) = 0 ก็ต่อเมื่อ x = y (อัตลักษณ์),
- D(x, y) = D(y, x) (สมมาตร), และ
- D(x, y) + D(y, z) ≥ D(x, z) (อสมการรูปสามเหลี่ยม)
สรุป: Since _L_1 and _L_∞ are not familiar, let me expand the remarks on the three metrics. _L_2 is the natural distance function to use in physical and geometric situations, including the data reduction from physical measurements. Thus you find least squares, _L_2, throughout physics. But when the subject matter is intellectual judgments, then the other two distance functions are generally preferable. This is slowly coming into use, though we still find the chi-squared test, which is obviously a measure for _L_2, used widely when some other suitable test should be used.
ความจริงคือ ในการออกแบบที่ซับซ้อน บางพิกัดเราอาจใช้เมตริกทั้งสามผสมกัน ดังนั้นพื้นที่การออกแบบจึงไม่เป็นรูปแบบที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่เป็นกองชิ้นส่วนกระจัดกระจาย เมตริก L_2 เกี่ยวข้องกับวิธี least squares อย่างชัดเจน ส่วนอีกสองเมตริก L_∞ และ L_1 มักเป็นการเปรียบเทียบ เมื่อต้องเปรียบเทียบในชีวิตจริง คุณมักจะใช้ความต่างสูงสุด (L_∞) ในลักษณะหนึ่งเพื่อแยกสองสิ่ง หรือบางครั้ง เช่นในสตริงของบิต สิ่งที่สำคัญคือจำนวนตำแหน่งที่ต่างกันและผลรวมของกำลังสองไม่มีบทบาท จึงใช้ระยะ L_1 แทน สิ่งนี้เริ่มเป็นที่ใช้มากขึ้น เช่นในการจดจำรูปแบบใน AI
น่าเสียดายที่สิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดเป็นจริงมาก และมักไม่มีใครเตือนคุณเรื่องนี้เลย! พวกเขาไม่เคยสอนผมเรื่องนี้มาก่อน! ผมจะต้องใช้ผลลัพธ์หลายอย่างในบทต่อ ๆ ไป แต่โดยทั่วไปหลังจากการเปิดเผยนี้ คุณควรเตรียมตัวดีกว่าเดิมสำหรับการออกแบบที่ซับซ้อนและการตรวจสอบพื้นที่ที่การออกแบบเกิดขึ้นตามที่ผมพยายามอธิบายไว้ที่นี่ แม้มันจะยุ่งเหยิง แต่โดยพื้นฐานแล้วนั่นคือที่ที่การออกแบบเกิดขึ้นและที่ที่คุณต้องค้นหาการออกแบบที่ยอมรับได้
เนื่องจาก L_1 และ L_∞ ยังไม่คุ้นเคยมากนัก ให้ผมขยายความเกี่ยวกับเมตริกทั้งสามสักหน่อย L_2 เป็นฟังก์ชันระยะที่เป็นธรรมชาติเพื่อใช้ในสถานการณ์ทางกายภาพและเชิงเรขาคณิต รวมถึงการลดข้อมูลจากการวัดทางกายภาพ ดังนั้นคุณจะพบ least squares, L_2, ทั่วฟิสิกส์ แต่เมื่อเรื่องที่พิจารณาเป็นการตัดสินทางปัญญา เมตริกอีกสองแบบมักจะเหมาะกว่า ซึ่งกำลังเริ่มถูกนำมาใช้ แม้ว่าเรายังคงเห็นการทดสอบไค-สแควร์ (chi-squared) ซึ่งชัดเจนว่าเป็นมาตรวัดสำหรับ L_2 ถูกใช้อย่างกว้างขวางเมื่อบางครั้งควรใช้การทดสอบที่เหมาะกว่า