เมื่อผมได้เป็นศาสตราจารย์ หลังจากทำงานวิจัยที่ Bell Telephone Laboratories มา 30 ปี ส่วนใหญ่อยู่ในแผนกวิจัยคณิตศาสตร์ (Mathematics Research Department) ผมก็นึกขึ้นได้ว่าศาสตราจารย์ควรจะได้ใช้เวลาคิดและทบทวนประสบการณ์ที่ผ่านมา ผมจึงเอาเท้าพาดบนโต๊ะและเริ่มทบทวนอดีตของตัวเอง ในช่วงปีแรกๆ ผมทำงานด้านคอมพิวเตอร์เป็นหลัก ดังนั้นจึงเกี่ยวข้องกับโปรเจกต์ใหญ่ๆ หลายโปรเจกต์ที่ต้องการการคำนวณ เมื่อนึกถึงว่าสิ่งต่างๆ ดำเนินไปอย่างไรในระบบวิศวกรรมขนาดใหญ่หลายระบบที่ผมมีส่วนร่วมบ้าง ตอนนี้เมื่อมีระยะห่างจากมันพอสมควร ผมเริ่มเห็นว่ามันมีองค์ประกอบร่วมบางอย่าง ผมเริ่มตระหนักว่าปัญหาการออกแบบทั้งหมดเกิดขึ้นในปริภูมิของ n มิติ โดยที่ n คือจำนวนพารามิเตอร์อิสระ ใช่แล้ว เราสร้างวัตถุสามมิติ แต่การออกแบบของมันอยู่ในปริภูมิที่มีมิติสูง หนึ่งมิติสำหรับพารามิเตอร์การออกแบบแต่ละตัว
ผมยังต้องการปริภูมิมิติสูงเพื่อให้บทพิสูจน์ในภายหลังดูเป็นธรรมชาติสำหรับคุณโดยไม่ต้องลงรายละเอียดอย่างเคร่งครัด เพราะฉะนั้นเราจะพูดถึงปริภูมิ n มิติกันตอนนี้
คุณคิดว่าคุณอยู่ในสามมิติ แต่ในหลายแง่มุม คุณกลับอยู่ในปริภูมิสองมิติ ตัวอย่างเช่น ในการเดินแบบสุ่ม (random walk) ของชีวิต ถ้าคุณเจอใครสักคน คุณก็มีโอกาสพอสมควรที่จะเจอคนนั้นอีกครั้ง แต่ในโลกสามมิติ คุณไม่มีโอกาสนั้น! ลองนึกถึงปลาในทะเลที่อาจอยู่ในสามมิติ พวกมันว่ายตามผิวน้ำ หรือตามพื้นทะเล เพื่อลดให้เหลือสองมิติ หรือไม่ก็ว่ายเป็นฝูง หรือรวมตัวกันในที่แห่งเดียวในเวลาเดียวกัน เช่น ปากแม่น้ำ ชายหาด ทะเล Sargasso ฯลฯ พวกมันไม่อาจหาคู่ได้หากเดินทางในมหาสมุทรเปิดแบบสามมิติ เช่นเดียวกัน ถ้าคุณต้องการให้เครื่องบินชนกัน คุณต้องรวมพวกมันไว้ใกล้สนามบิน จัดให้อยู่ในระดับการบินแบบสองมิติ หรือส่งเป็นกลุ่ม การบินแบบสุ่มจริงๆ จะทำให้เกิดอุบัติเหตุน้อยกว่าที่เป็นอยู่ตอนนี้!
Figure 9.1—Pythagorean distance (ระยะพิทาโกรัส)
n -dimensional space (ปริภูมิ n มิติ) เป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่เราต้องศึกษาหากเราจะเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นกับเราเมื่อเราเดินทางในนั้นระหว่างปัญหาการออกแบบ ในสองมิติ เรามีทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagoras's theorem) ที่ว่าสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน ในสามมิติ เราถามหาความยาวของเส้นทแยงมุมของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก Figure 9.1 ในการหาคำตอบ เราจะวาดเส้นทแยงมุมบนหน้าหนึ่งก่อน ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แล้วนำมาเป็นด้านหนึ่งร่วมกับอีกด้านที่เป็นมิติที่สามซึ่งตั้งฉากกัน และจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกครั้ง เราจะได้กำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านตั้งฉากทั้งสามด้าน จากบทพิสูจน์นี้และสมมาตรที่จำเป็นของสูตร จะเห็นได้ชัดว่าเมื่อคุณไปยังมิติที่สูงขึ้นเรื่อยๆ คุณจะยังคงได้กำลังสองของเส้นทแยงมุมเป็นผลรวมของกำลังสองของแต่ละด้านที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน
โดยที่ x i คือความยาวของด้านของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใน n มิติ
เมื่อพิจารณาต่อในเชิงเรขาคณิต ระนาบในปริภูมินี้ก็คือ linear combination ของ x i และทรงกลมรอบๆ จุดหนึ่งก็คือจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจากจุดนั้นเป็นระยะคงที่ (รัศมี)
เราต้องการปริมาตรของทรงกลม n มิติ เพื่อให้ทราบขนาดของพื้นที่ที่ถูกจำกัดส่วนหนึ่ง แต่ก่อนอื่นเราต้องได้ การประมาณแบบ Stirling (Stirling approximation) สำหรับ n ! ซึ่งผมจะพิสูจน์ให้คุณเห็นรายละเอียดส่วนใหญ่ เพื่อให้คุณมั่นใจว่าสิ่งที่จะกล่าวถึงต่อไปเป็นความจริง ไม่ใช่แค่ได้ยินต่อกันมา
ผลคูณอย่าง n ! จัดการได้ยาก เราจึง take log ของ n ! เพื่อให้ได้
โดยที่แน่นอนว่า ln คือลอการิทึมฐาน e ผลรวมทำให้เรานึกถึงความสัมพันธ์กับอินทิกรัล เราจึงเริ่มต้นด้วยอินทิกรัล
เราใช้การอินทิเกรตทีละส่วน (integration by parts) เนื่องจากเราสังเกตว่า ln x เกิดจากการอินทิเกรตฟังก์ชันพีชคณิต และจะถูกกำจัดในขั้นตอนถัดไป ให้ u \= ln x และ d v \= d x จะได้
Figure 9.2—Trapezoid rule (กฎสี่เหลี่ยมคางหมู)
ในทางกลับกัน ถ้าเราใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู (trapezoid rule) Figure 9.2 กับอินทิกรัลของ ln x เราจะได้
เนื่องจาก ln 1 = 0 เมื่อบวก (1/2) ln n เข้าทั้งสองข้าง ในที่สุดเราจะได้:
การถอด log โดยการใส่ exponential ทั้งสองข้างจะได้
โดยที่ C เป็นค่าคงที่ (ไม่ห่างจาก e เท่าไร) ที่ไม่ขึ้นกับ n เนื่องจากเรากำลังประมาณอินทิกรัลด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู และความคลาดเคลื่อนของการประมาณนี้จะเพิ่มขึ้นช้าลงเรื่อยๆ เมื่อ n มีค่ามากขึ้น และ C คือค่าลิมิต นี่คือรูปแบบแรกของสูตร Stirling (Stirling's formula) เราจะไม่เสียเวลาหาค่าลิมิตของค่าคงที่ C เมื่อ n เข้าสู่อนันต์ ซึ่งมีค่าเท่ากับ 
\= 2.5066… ( e = 2.71828…) ดังนั้นในที่สุดเราจะได้สูตร Stirling สำหรับ factorial ในรูปแบบปกติ:
ตารางต่อไปนี้แสดงคุณภาพของการประมาณแบบ Stirling สำหรับ n ! :
| n | Stirling | True (ค่าจริง) | Stirling/True (อัตราส่วน) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.92214 | 1 | 0.92214 |
| 2 | 1.91900 | 2 | 0.95950 |
| 3 | 5.83621 | 6 | 0.97270 |
| 4 | 23.50618 | 24 | 0.97942 |
| 5 | 118.01917 | 120 | 0.98349 |
| 6 | 710.07818 | 720 | 0.98622 |
| 7 | 4,980.3958 | 5,040 | 0.98817 |
| 8 | 39,902.3955 | 40,320 | 0.98964 |
| 9 | 359,536.87 | 362,880 | 0.99079 |
| 10 | 3,598,695.6 | 3,628,800 | 0.99170 |
สังเกตว่าเมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ อัตราส่วนจะเข้าใกล้ 1 แต่ผลต่างกลับยิ่งมากขึ้นเรื่อยๆ!
ถ้าคุณพิจารณาฟังก์ชันสองฟังก์ชัน
แล้วลิมิตของอัตราส่วน f ( n )/ g ( n ) เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ จะเป็น 1 แต่ดังที่เห็นในตาราง ผลต่าง
ยิ่งเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เมื่อ n เพิ่มขึ้น
เราจำเป็นต้องขยายฟังก์ชัน factorial ไปยังจำนวนจริงบวกทั้งหมด ในการนี้เราแนะนำ ฟังก์ชันแกมมา (gamma function) ในรูปของอินทิกรัล
ซึ่งลู่เข้าสำหรับ n > 0 ทั้งหมด สำหรับ n > 1 เราอินทิเกรตทีละส่วนอีกครั้ง คราวนี้ใช้ d v = e –x d x และ u \= x n –1 ที่ลิมิตทั้งสองข้าง ส่วนที่ถูกอินทิเกรตแล้วจะเป็นศูนย์ และเราได้สูตร reduction
โดยที่ Г (1) = 1
ดังนั้นฟังก์ชันแกมมาจึงมีค่าเท่ากับ ( n – 1)! ที่จำนวนเต็มบวก n และมันเป็นวิธีธรรมชาติในการขยาย factorial ไปยังจำนวนบวกทั้งหมด เนื่องจากอินทิกรัลมีค่าอยู่จริงเมื่อ n > 0
เราจะต้องใช้ค่าของ
ให้ x = t 2 ดังนั้น d x = 2 t d t และเราได้ (ใช้สมมาตรในขั้นตอนสุดท้าย):
ตอนนี้เราใช้เทคนิคมาตรฐานในการหาค่าอินทิกรัลนี้ นำอินทิกรัลมาคูณกับตัวเอง ครั้งหนึ่งเทียบกับ x และอีกครั้งเทียบกับ y
การมี x 2 + y 2 แนะนำให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว (polar coordinates) ดังนั้นเราแปลงเป็น
การอินทิเกรตเชิงมุมนั้นง่าย การอินทิเกรต exponential ก็ง่ายเช่นกัน และในที่สุดเราได้ว่า
ตอนนี้เรามาดูที่ปริมาตรของทรงกลม n มิติ (หรือ hypersphere ถ้าคุณต้องการ) เห็นได้ชัดว่าปริมาตรของลูกบาศก์ใน n มิติ ที่มีความยาวด้าน x คือ x n เมื่อคิดสักเล็กน้อยคุณจะเชื่อว่าสูตรสำหรับปริมาตรของทรงกลม n มิติต้องมีรูปแบบ
โดยที่ C n คือค่าคงที่ที่เหมาะสม ในกรณี n \= 2 ค่าคงที่คือ π ในกรณี n \= 1 ค่าคงที่คือ 2 (ลองคิดดู) ในสามมิติเราได้ C 3 \= 4 π /3
เราเริ่มต้นด้วยเทคนิคเดียวกับที่ใช้กับ ฟังก์ชันแกมมาของ 1 / 2 แต่คราวนี้เราใชผลคูณของอินทิกรัล n ตัว แต่ละตัวมี x i ที่ต่างกัน เมื่อคิดถึง ปริมาตรของทรงกลม เราจะเห็นว่ามันคือผลรวมของเปลือก (shells) และแต่ละองค์ประกอบของผลรวมมีปริมาตรเท่ากับพื้นที่ผิวของเปลือกนั้นคูณกับความหนา d r สำหรับทรงกลม ค่าของพื้นที่ผิวสามารถหาได้จากการหาอนุพันธ์ของปริมาตรทรงกลมเทียบกับรัศมี r นั่นหมายความว่า
และดังนั้นองค์ประกอบของปริมาตรคือ
ดังนั้นเราจึงได้ เมื่อกำหนดให้ r 2 = t,
จากนั้นเราได้
เห็นได้ง่ายว่า
และเราสามารถคำนวณตารางต่อไปนี้:
| มิติ n | สัมประสิทธิ์ C n |
|---|
| 1 | 2 | \= 2.00000... |
| 2 | π | \= 3.14159... |
| 3 | 4π/3 | \= 4.18879... |
| 4 | π 2 /2 | \= 4.93480... |
| 5 | 8π 2 /15 | \= 5.26379... |
| 6 | π 3 /6 | \= 5.16771... |
| 7 | 16π 3 /105 | \= 4.72477... |
| 8 | π 4 /24 | \= 4.05871... |
| 9 | 32π 4 /945 | \= 3.29851... |
| 10 | π 5 /120 | \= 2.55016... |
| 2k | π k /k! | → 0 |
ดังนั้นเราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ C n เพิ่มขึ้นถึง n \= 5 แล้วลดลงเข้าสู่ 0 สำหรับทรงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย นั่นหมายความว่าปริมาตรของทรงกลมจะเข้าใกล้ 0 เมื่อ n เพิ่มขึ้น ถ้ารัศมีคือ r แล้วเราจะได้ปริมาตร โดยใช้ n \= 2 k เพื่อความสะดวก (เนื่องจากค่าจริงจะแปรผันอย่างราบรื่นเมื่อ n เพิ่มขึ้น และปริภูมิมิติคี่คำนวณยากกว่า)
ไม่ว่ารัศมี r จะใหญ่แค่ไหน การเพิ่มจำนวนมิติ n ในที่สุดจะทำให้ทรงกลมมีปริมาตรเล็กตามอำเภอใจได้
ต่อมาเราจะดูปริมาณสัมพัทธ์ของปริมาตรที่อยู่ใกล้ผิวของทรงกลม n มิติ ให้รัศมีของทรงกลมเป็น r และรัศมีด้านในของเปลือกเป็น r (1 – ε ) ดังนั้น ปริมาตรสัมพัทธ์ (relative volume) ของเปลือกคือ
สำหรับ n ที่มีค่ามาก ไม่ว่าเปลือกจะบางแค่ไหน (เทียบกับรัศมี) เกือบทั้งหมดของปริมาตรจะอยู่ในเปลือกและแทบไม่มีอะไรอยู่ข้างใน ดังที่เรากล่าวว่า ปริมาตรเกือบทั้งหมดอยู่ที่ผิว (the volume is almost all on the surface) แม้แต่ในสามมิติ ทรงกลมหนึ่งหน่วยก็มี 7/8 ของปริมาตรอยู่ภายใน 1/2 ของผิว ใน n มิติ จะมี 1 – 1/2 n อยู่ภายใน 1/2 ของรัศมีจากผิว
สิ่งนี้สำคัญในการออกแบบ มันหมายความว่าการออกแบบที่เหมาะสมที่สุดมักจะอยู่ที่ผิวและจะไม่อยู่ภายใน อย่างที่คุณอาจคิดจากวิชาแคลคูลัสที่เรียนการหาค่าเหมาะสมที่สุด วิธีการแบบแคลคูลัสมักจะไม่เหมาะสมสำหรับการหาค่า optimum ในปริภูมิมิติสูง ซึ่งไม่ใช่เรื่องแปลกเลย โดยทั่วไปแล้ว การออกแบบที่ดีที่สุดคือการผลักพารามิเตอร์หนึ่งตัวหรือมากกว่าไปยังขีดสุด—เห็นได้ชัดว่าคุณอยู่บนผิวของขอบเขตที่เป็นไปได้ของการออกแบบ!
ต่อไปเราจะมาดูที่เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ n มิติ เช่น เวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุด (1, 1, ..., 1) ค่า cosine ของมุมระหว่างเส้นนี้กับแกนใดๆ ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนขององค์ประกอบตามแกน ซึ่งเห็นได้ชัดว่าคือ 1 ต่อความยาวของเส้น ซึ่งคือ 
ดังนั้น:
ดังนั้น สำหรับ n ที่มีค่ามาก เส้นทแยงมุมจะ เกือบตั้งฉาก (almost perpendicular) กับแกนพิกัดทุกแกน!
ถ้าเราใช้จุดที่มีพิกัด (±1, ±1, …, ±1) แล้วจะมีเส้นทแยงมุมแบบนี้ 2 n เส้น ซึ่งทั้งหมดเกือบตั้งฉากกับแกนพิกัด สำหรับ n \= 10 ตัวอย่างเช่น จะมีถึง 1,024 เส้นที่เกือบตั้งฉาก
Figure 9.3—Law of cosines (กฎของโคไซน์)
ผมต้องการมุมระหว่างสองเส้น และแม้ว่าคุณอาจจำได้ว่ามันคือ dot product ของเวกเตอร์ ผมจะ derive มันอีกครั้งเพื่อให้เข้าใจมากขึ้นว่ากำลังเกิดอะไรขึ้น (ข้อสังเกต: ผมพบว่ามันมีค่ามากในสถานการณ์สำคัญที่จะทบทวน การ derive พื้นฐานทั้งหมดที่เกี่ยวข้อง เพื่อให้รู้สึกมั่นใจว่ากำลังเกิดอะไรขึ้น) ใช้จุดสองจุด x และ y ที่มีพิกัด x i และ y i ตามลำดับ Figure 9.3 จากนั้นใช้กฎของโคไซน์ (law of cosines) ในระนาบของจุดสามจุด x , y , และจุดกำเนิด เราได้
โดยที่ X และ Y คือความยาวของเส้นไปยังจุด x และ y แต่พจน์ C มาจากการใช้ผลต่างของพิกัดในแต่ละทิศทาง:
เมื่อเปรียบเทียบทั้งสองนิพจน์ เราจะเห็นว่า
ตอนนี้เราใช้สูตรนี้กับเส้นสองเส้นที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุดสุ่มในรูปแบบ:
dot product ของปัจจัยเหล่านี้ ซึ่งถูกสุ่ม เป็นเลข หนึ่งและลบหนึ่ง แบบสุ่มอีกครั้ง และสิ่งเหล่านี้จะถูกบวกกัน n ครั้ง ในขณะที่ความยาวของแต่ละเส้นคือ
อีกครั้ง ดังนั้น (สังเกต n ในตัวส่วน)
และโดย กฎอ่อนของจำนวนมาก (the weak law of large numbers) ค่านี้จะเข้าใกล้ 0 เมื่อ n เพิ่มขึ้น เกือบแน่นอน (almost surely) แต่มีเวกเตอร์สุ่มแบบนี้ถึง 2 n ตัวที่แตกต่างกัน และเมื่อกำหนดเวกเตอร์ fixed ตัวหนึ่ง เวกเตอร์อื่นใดใน 2 n ตัวนี้จะ เกือบแน่นอนเกือบตั้งฉาก (almost surely almost perpendicular) กับมัน! n มิตินั้นกว้างใหญ่ไพศาลจริงๆ!
ในวิชาพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) และวิชาอื่นๆ คุณเรียนรู้ที่จะหาเซตของแกนตั้งฉาก แล้วแทนทุกสิ่งทุกอย่างในรูปของพิกัดเหล่านี้ แต่คุณเห็นว่าใน n มิติ หลังจากที่คุณหาแกนพิกัดตั้งฉากซึ่งกันและกัน n แกนแล้ว ยังมีทิศทางอื่นอีก 2 n ทิศทางที่ เกือบตั้งฉาก กับแกนที่คุณหาได้! ทฤษฎีและการปฏิบัติของพีชคณิตเชิงเส้นนั้นแตกต่างกันมาก!
Figure 9.4—Four circles paradox (ปฏิทรรศน์วงกลมสี่วง)
สุดท้าย เพื่อให้คุณเชื่อมั่นว่าสัญชาตญาณของคุณเกี่ยวกับปริภูมิมิติสูงนั้นไม่ค่อยดีนัก ผมจะสร้าง ปฏิทรรศน์ (paradox) อีกอันที่ผมจะต้องใช้ในบทต่อๆ ไป เราเริ่มต้นด้วย 4×4 สี่เหลี่ยมจัตุรัสและแบ่งมันเป็นสี่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย ในแต่ละอันเราวาดวงกลมหน่วย Figure 9.4 ต่อไปเราวาดวงกลมรอบจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ โดยมีรัศมีที่สัมผัสกับวงกลมทั้งสี่จากด้านใน รัศมีของมันต้องเป็น จาก Figure 9.4 :
ตอนนี้ในสามมิติ คุณจะมีลูกบาศก์ 4×4×4 และทรงกลมหน่วยแปดลูก ทรงกลมด้านในจะสัมผัสทรงกลมด้านนอกแต่ละลูกตามแนวเส้นไปยังศูนย์กลางของมัน และจะมีรัศมี
ลองคิดว่าทำไมค่านี้ถึงต้องมากกว่าในสองมิติ
เมื่อไปยัง n มิติ คุณจะมีลูกบาศก์ 4 × 4 × … × 4 และ 2 n ทรงกลม หนึ่งลูกในแต่ละมุม และแต่ละลูกสัมผัสกับเพื่อนบ้านที่อยู่ติดกัน n ลูก ทรงกลมด้านในซึ่งสัมผัสกับทรงกลมทุกลูกจากด้านใน จะมีรัศมี
ลองพิจารณาให้ดี! คุณแน่ใจหรือไม่? ถ้าไม่แน่ใจ ทำไม? คุณจะคัดค้านตรงไหนในเหตุผลนี้?
เมื่อพอใจว่ามันถูกต้องแล้ว เราจะใช้กับกรณี n \= 10 มิติ คุณจะได้รัศมีของทรงกลมด้านใน
และในสิบมิติ ทรงกลมด้านในจะยื่นออกไปนอกลูกบาศก์ที่ล้อมรอบมัน! ใช่แล้ว ทรงกลมมันนูน (convex) ใช่มันสัมผัสกับทรงกลมที่อัดแน่น 1,024 ลูกแต่ละลูกจากด้านใน แต่มันกลับยื่นออกไปนอกลูกบาศก์!
เพียงเท่านี้สำหรับสัญชาตญาณดิบของคุณเกี่ยวกับปริภูมิ n มิติ แต่จำไว้ว่าปริภูมิ n มิติคือที่ที่การออกแบบวัตถุที่ซับซ้อนมักจะเกิดขึ้น คุณควรพัฒนาความรู้สึกที่ดีขึ้นสำหรับปริภูมิ n มิติ โดยการคิดถึงสิ่งที่เพิ่งนำเสนอไป จนกว่าคุณจะเริ่มเห็นว่ามันเป็นจริงได้อย่างไร จริงๆ แล้วมันต้องเป็นจริงอย่างไร มิฉะนั้นคุณจะเจอปัญหาในครั้งต่อไปเมื่อคุณเจอปัญหาการออกแบบที่ซับซ้อน บางทีคุณควรคำนวณรัศมีในมิติต่างๆ รวมถึงกลับไปดูมุมระหว่างเส้นทแยงมุมกับแกน และดูว่ามันเกิดขึ้นได้อย่างไร
ตอนนี้จำเป็นต้องสังเกตอย่างระมัดระวังว่า ผมทำทั้งหมดนี้ในปริภูมิ Euclidean แบบคลาสสิก โดยใช้ระยะทางแบบ Pythagorean ที่ผลรวมของกำลังสองของผลต่างของพิกัดคือระยะทางระหว่างจุดยกกำลังสอง นักคณิตศาสตร์เรียกระยะทางนี้ว่า L 2
ปริภูมิ L 1 ไม่ได้ใช้ผลรวมของกำลังสอง แต่ใช้ผลรวมของระยะทาง คล้ายกับที่คุณต้องทำเมื่อเดินทางในเมืองที่มีผังถนนเป็นตารางสี่เหลี่ยม มันคือผลรวมของผลต่างระหว่างสองตำแหน่งที่บอกคุณว่าคุณต้องเดินทางไกลแค่ไหน ในวงการคอมพิวเตอร์มักเรียกสิ่งนี้ว่า "Hamming distance" ด้วยเหตุผลที่จะปรากฏในบทต่อๆ ไป ในปริภูมินี้ วงกลมในสองมิติจะมีลักษณะเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยืนอยู่บนจุดยอด Figure 9.5 ในสามมิติมันเหมือนลูกบาศก์ที่ยืนอยู่บนจุดยอด ฯลฯ ตอนนี้คุณอาจเห็นได้ดีขึ้นว่าทำไมในปฏิทรรศน์วงกลมข้างต้น ทรงกลมด้านในถึงสามารถออกไปนอกลูกบาศก์ได้
Figure 9.5—Circle in L 1 (วงกลมใน L1)
Figure 9.6—Circle in L ∞ (วงกลมใน L∞)
มี metric ที่ใช้กันทั่วไปเป็นอันดับสาม (metric คือ ฟังก์ชันระยะทาง) เรียกว่า L ∞ หรือ Chebyshev distance โดยระยะทางคือผลต่างพิกัดสูงสุด ไม่ว่าจะมีผลต่างอื่นใดอีกหรือไม่ก็ตาม Figure 9.6 ในปริภูมินี้ วงกลมคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทรงกลมสามมิติคือลูกบาศก์ และคุณจะเห็นว่าในกรณีนี้ วงกลมด้านในในปฏิทรรศน์วงกลมมีรัศมี 0 ในทุกมิติ
ทั้งหมดนี้เป็นตัวอย่างของ metric ซึ่งเป็นหน่วยวัดระยะทาง เงื่อนไขทั่วไปของ metric D ( x , y ) ระหว่างสองจุด x และ y คือ:
- D ( x , y ) ≥ 0 (ไม่เป็นลบ),
- D ( x , y ) = 0 ก็ต่อเมื่อ x = y (เอกลักษณ์),
- D ( x , y ) = D ( y , x ) (สมมาตร), และ
- D ( x , y ) + D ( y , z ) ≥ D ( x , z ) (อสมการสามเหลี่ยม).
ปล่อยให้คุณเป็นผู้พิสูจน์ว่า metric ทั้งสาม L ∞ , L 2 , และ L 1 (Chebyshev, Pythagoras, และ Hamming) ต่างก็สอดคล้องกับเงื่อนไขเหล่านี้
ความจริงก็คือ ในการออกแบบที่ซับซ้อน สำหรับพิกัดต่างๆ เราอาจใช้ metric ใดๆ ในสามแบบนี้ ปะปนกันไปหมด ดังนั้นปริภูมิการออกแบบจึงไม่ใช่สิ่งที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่เป็นเรื่องที่ยุ่งเหยิงไปด้วยส่วนประกอบต่างๆ L 2 metric เชื่อมโยงกับกำลังสองน้อยที่สุด (least squares) อย่างเห็นได้ชัด ส่วนอีกสองแบบ L ∞ และ L 1 นั้นคล้ายกับการเปรียบเทียบมากกว่า ในการเปรียบเทียบในชีวิตจริง โดยทั่วไปคุณจะใช้ผลต่างสูงสุด L ∞ ในคุณลักษณะใดคุณลักษณะหนึ่งก็เพียงพอที่จะแยกแยะสองสิ่ง หรือบางครั้ง เช่นในกรณีของสายบิต (strings of bits) จำนวนของความแตกต่างคือสิ่งที่สำคัญ และผลรวมของกำลังสองไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงใช้ระยะทาง L 1 สิ่งนี้เป็นจริงมากขึ้นเรื่อยๆ ตัวอย่างเช่น ในการระบุรูปแบบ (pattern identification) ใน ai
โชคไม่ดีที่ทั้งหมดที่กล่าวมายังเป็นความจริงเกินไป และแทบไม่เคยมีใครชี้ให้คุณเห็นเลย พวกเขาไม่เคยบอกอะไรผมเกี่ยวกับเรื่องนี้เลยสักนิด! ผมจะต้องใช้ผลลัพธ์หลายอย่างในบทต่อๆ ไป แต่โดยทั่วไปแล้ว หลังจากได้รับข้อมูลเหล่านี้แล้ว คุณควรจะเตรียมพร้อมมากขึ้นกว่าที่เคย สำหรับการออกแบบที่ซับซ้อน และสำหรับการตรวจสอบปริภูมิที่การออกแบบเกิดขึ้นอย่างละเอียดถี่ถ้วน ดังที่ผมพยายามทำที่นี่ ถึงแม้จะยุ่งเหยิง แต่โดยพื้นฐานแล้วมันคือที่ที่การออกแบบเกิดขึ้นและที่ที่คุณต้องค้นหาการออกแบบที่ยอมรับได้
เนื่องจาก L 1 และ L ∞ อาจไม่คุ้นเคย ขอให้ผมขยายความเกี่ยวกับ metric ทั้งสามนี้ L 2 คือฟังก์ชันระยะทางตามธรรมชาติที่ควรใช้ในสถานการณ์ทางกายภาพและเรขาคณิต รวมถึงการลดขนาดข้อมูลจากการวัดทางกายภาพ ดังนั้นคุณจึงพบ least squares L 2 ทั่วทั้งฟิสิกส์ แต่เมื่อเรื่องที่พิจารณาเป็นการตัดสินทางปัญญา (intellectual judgments) แล้ว อีกสองฟังก์ชันระยะทางมักจะดีกว่า สิ่งนี้กำลังถูกนำมาใช้อย่างช้าๆ แม้ว่าเราจะยังพบการทดสอบ chi-squared ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นการวัดแบบ L 2 ถูกใช้อย่างกว้างขวางในขณะที่ควรใช้การทดสอบอื่นที่เหมาะสมกว่า